高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式学案新人教a版 10页

二　一般形式的柯西不等式学习目标　1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题．知识点一　三维形式的柯西不等式思考1　类比平面向量，在空间向量中，如何用|α||β|≥|α·β|，推导三维形式的柯西不等式？答案　设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，则|α|＝，|β|＝.∵|α||β|≥|α·β|，∴·≥|a1b1＋a2b2＋a3b3|，∴(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.思考2　三维形式的柯西不等式中，等号成立的条件是什么？答案　当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k，使a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立．梳理　三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时等号成立．知识点二　一般形式的柯西不等式1．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．柯西不等式等号成立的条件当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时等号成立.类型一　利用柯西不等式证明不等式例1　设a，b，c为正数，且不全相等．n求证：＋＋＞.证明　构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9，于是＋＋≥.由柯西不等式知，①中有等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因为题设中a，b，c不全相等，故①中等号不成立，于是＋＋＞.反思与感悟　有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项．跟踪训练1　已知a，b，c∈R＋，求证·≥9.证明　由柯西不等式知，左边＝×≥2＝(1＋1＋1)2＝9，∴原不等式成立．例2　设a1，a2，…，an为正整数，求证：＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an.n证明　由柯西不等式，得(a2＋a3＋…＋a1)≥2＝(a1＋a2＋…＋an)2，故＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an.反思与感悟　一般形式的柯西不等式往往看着比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式．跟踪训练2　已知a1，a2，…，an∈R＋，且a1＋a2＋…＋an＝1，求证：＋＋…＋＋≥.证明　∵×2＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(an＋a1)]≥2＝(a1＋a2＋…＋an)2＝1，∴＋＋…＋≥.类型二　利用柯西不等式求函数的最值例3　(1)若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2的最小值为________．(2)已知0＜x＜1,0＜y＜1，则函数f(x)＝＋的最小值是________．答案　(1)　(2)解析　(1)∵(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2，当且仅当＝＝时取等号，即14(x2＋y2＋z2)≥a2，∴x2＋y2＋z2≥，即x2＋y2＋z2的最小值为.(2)＋≥＝，故f(x)的最小值为.反思与感悟　利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．n跟踪训练3　已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值．解　(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a＞0，b＞0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c，又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥，当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值为.1．已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝2，则＋2＋的最大值为(　　)A．2B．2C．4D．5答案　C解析　∵(＋2＋)2＝(1·＋2·＋·)2≤[12＋22＋()2][()2＋()2＋()2]＝8(x＋y＋z)＝16(当且仅当x＝y＝z＝时取等号)，n∴＋2＋≤4.2．若a，b，c∈R＋，且＋＋＝1，则a＋2b＋3c的最小值为(　　)A．9B．3C.D．6答案　A解析　由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)·≥(1＋1＋1)2＝9，∴a＋2b＋3c的最小值为9.3．设a，b，c，d均为正实数，则(a＋b＋c＋d)的最小值为________．答案　16解析　(a＋b＋c＋d)＝[()2＋()2＋()2＋()2]·≥2＝(1＋1＋1＋1)2＝42＝16，当且仅当a＝b＝c＝d时取等号．4．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1，求证：＋＋≥.证明　因为x＞0，y＞0，z＞0，所以由柯西不等式得[()2＋()2＋()2]·≥(x＋y＋z)2，当且仅当＝＝，即x＝y＝z＝时，等号成立，所以＋＋≥＝.1．柯西不等式的一般结构为(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，在利用柯西不等式证明不等式时关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题．2．要求ax＋by＋z的最大值，利用柯西不等式(ax＋by＋z)2≤(a2＋b2＋12)(x2＋y2＋z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧．对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它．n一、选择题1．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　)A．1B．2C．3D．4答案　A解析　(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)·(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号．∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.2．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为(　　)A．5B．－5C．25D．－25答案　B解析　(ab＋bc＋cd＋da)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)·(b2＋c2＋d2＋a2)＝25，当且仅当a＝b＝c＝d＝±时，等号成立．∴ab＋bc＋cd＋ad的最小值为－5.3．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.4．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为(　　)A．3B．3C．18D．9答案　B解析　由柯西不等式，得(＋＋)2≤(1＋1＋1)(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)n＝3[3(a＋b＋c)＋3]．∵a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤3×6＝18，∴＋＋≤3，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．5．设a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是(　　)A．1B.C．3D．9答案　B6．已知x，y是实数，则x2＋y2＋(1－x－y)2的最小值是(　　)A.B.C．6D．3答案　B解析　∵(12＋12＋12)[x2＋y2＋(1－x－y)2]≥[x＋y＋(1－x－y)]2＝1，∴x2＋y2＋(1－x－y)2≥，当且仅当x＝y＝时等号成立．二、填空题7．设a，b，c∈R＋，若(a＋b＋c)≥25恒成立，则正数k的最小值是________．答案　9解析　因为(a＋b＋c)≥(1＋1＋)2＝(2＋)2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以(a＋b＋c)·的最小值是(2＋)2.由(a＋b＋c)·≥25恒成立，得(2＋)2≥25.又k＞0，所以k≥9，所以正数k的最小值是9.8．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________．答案　121解析　(a＋b＋c)n＝[()2＋()2＋()2]≥2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当＝＝＝k(k为正实数)时，等号成立．9．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________．答案　4解析　由柯西不等式，得(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当＝＝，即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．又a＋b＋c＝6，∴当a＝，b＝，c＝时，＋＋取得最大值4.10．设x，y，z∈R,2x＋2y＋z＋8＝0，则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为________．答案　9解析　(22＋22＋12)[(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2]≥[2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)]2＝(2x＋2y＋z－1)2＝81，∴(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥9.当且仅当＝＝时，取等号．三、解答题11．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a，又正数p，q，r满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.证明　因为f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，即函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a＝3，所以p＋q＋r＝3.由柯西不等式得n(p2＋q2＋r2)(1＋1＋1)≥(p＋q＋r)2＝9，于是p2＋q2＋r2≥3.12．设a1＞a2＞…＞an＞an＋1，求证：＋＋…＋＋＞0.证明　为了运用柯西不等式，我们将a1－an＋1写成a1－an＋1＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)，于是[(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)]·≥n2＞1.即(a1－an＋1)·＞1，所以＋＋…＋＞，故＋＋…＋＋＞0.四、探究与拓展13．边长为a，b，c的三角形ABC，其面积为，外接圆半径为1，若s＝＋＋，t＝＋＋，则s与t的大小关系是________．答案　s＜t解析　由已知得absinC＝，＝2R＝2，所以abc＝1，所以＋＋＝ab＋bc＋ca，由柯西不等式得(ab＋bc＋ca)≥(＋＋)2，所以2≥(＋＋)2，即＋＋≥＋＋.当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．又当等号成立时，面积S＝≠，故等号不成立．n故s＜t.14．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，则x，y，z的值分别为__________；(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，则正数t的取值范围为__________________．答案　(1)，，　(2)[6，＋∞)解析　(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当＝＝时，等号成立，∴2x＝3y＝6z.又∵x＋y＋z＝1，∴x＝，y＝，z＝.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)·≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当＝＝时，等号成立，∴(2x2＋3y2＋tz2)min＝.∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴≥1.又t＞0，∴t≥6.