高中数学第二讲直线与圆的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理同步指导练习新人教a版 5页

二圆内接四边形的性质与判定定理一、基础达标1.如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于(　　)A.120°B.136°C.144°D.150°解析　∵∠BCD∶∠ECD＝3∶2，∴∠ECD＝72°，∴∠BOD＝2∠A＝2∠ECD＝144°.答案　C2.在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　)A.4∶2∶3∶1B.4∶3∶1∶2C.4∶1∶3∶2D.以上都不对解析　四边形ABCD内接于圆，故∠A＋∠C＝∠B＋∠D，所以只有B适合.答案　B3.如图所示，已知在圆内接四边形ABCD中，BA的延长线和CD的延长线交于点P，AC和BD相交于点E，则图中共有相似三角形(　　)A.5对B.4对C.3对D.2对解析　由圆内接四边形的性质和圆周角定理可以判定：△ABE∽△DCE，△ADE∽△BCE，△PAC∽△PDB，△PAD∽△PCB共4对.答案　B4.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝110°，那么∠BCD的度数为________.解析　∵∠A＝∠BOD＝×110°＝55°，∴∠BCD＝180°－55°＝125°.答案　125°5.如图，两圆相交于点A，B，过点A的直线交两圆于点C，D，过点B的直线交两圆于点E，F，连接CE，DF，若∠C＝115°，则∠D＝________.解析　如图，连接AB，∵∠C＝115°，∴∠ABE＝65°，∴∠D＝∠ABE＝65°.答案　65°6.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BCn于点E，AB＝2AC.(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长.(1)证明　连接DE，∵ACED是圆的内接四边形，∴∠BDE＝∠BCA.又∠DBE＝∠CBA，∴△BDE∽△BCA，即有＝，而AB＝2AC，∴BE＝2DE.又CD是∠ACB的平分线，∴AD＝DE，从而BE＝2AD.(2)解　由条件得AB＝2AC＝2，设AD＝t，根据割线定理得BD·BA＝BE·BC，即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)，∴(2－t)×2＝2t(2t＋2)，即2t2＋3t－2＝0，解得t＝或t＝－2(舍去)，即AD＝.二、能力提升7.如图，AB是⊙O的弦，过A，O两点的圆交BA的延长线于C，交⊙O于D，若CD＝5cm，则CB等于(　　)A.25cm　　　　　　B.15cmC.5cmD.cm解析　连接OA，OB，OD，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠ODB＝∠OBD.∵C，D，O，A四点共圆，∴∠OAB＝∠CDO，∠CDO＝∠OBA，∴∠CDO＋∠ODB＝∠OBA＋∠OBD，即∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB，∵CD＝5cm，∴CB＝5cm.n答案　C8.(2014·陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析　∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴2＝，∴EF＝3.答案　39.如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，AC＝a，则四边形ABCD的面积为________.解析　如图，连接BD，易知∠BAD＝∠ABD＝∠ADB＝∠ACB＝∠ACD＝60°.设∠CAD＝θ，AB＝AD＝b，则∠BAC＝60°－θ，S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝absin(60°－θ)＋absinθ＝absin(60°＋θ)＝absin∠ABC，在△ABC中，由正弦定理可知＝＝，∴bsin∠ABC＝asin60°.∴S四边形ABCD＝·a·a·sin60°＝a2.答案　a210.四边形ABCD是圆内接四边形，过点C作DB的平行线交AB的延长线于E点.求证：BE·AD＝BC·CD.证明　如图，连接AC.∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠ADC＝∠EBC.又BD∥EC，∴∠CEB＝∠DBA，且∠ACD＝∠DBA，∴∠CEB＝∠ACD.∴△ADC∽△CBE.∴＝，即BE·AD＝BC·CD.n11.如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，DE平分∠ADB交AB于E，过A，D，E的圆交BD于N.求证：BN＝2AE.证明　连接EN.∵四边形AEND是圆内接四边形，∴∠BNE＝∠A，又∵∠ABD＝∠ABD，∴△BNE∽△BAD，∴＝，∵AB＝AC，AC＝2AD，∴AB＝2AD，BN＝2EN，又∵∠ADE＝∠NDE，∴＝，∴AE＝EN，∴BN＝2AE.三、探究与创新12.如图所示，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足.求证：E，B，C，F四点共圆.证明　法一　连接EF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＋∠AFD＝90°＋90°＝180°，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠1＝∠2.∴∠BEF＋∠C＝∠BED＋∠1＋∠C＝90°＋∠2＋∠C＝90°＋90°＝180°，∴E，B，C，F四点共圆.法二　连接EF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＋∠AFD＝90°＋90°＝180°，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠3＝∠4.∴∠CFE＋∠B＝∠CFD＋∠4＋∠B＝90°＋∠3＋∠B＝90°＋90°＝180°，∴E，B，C，F四点共圆.法三　连接EF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＋∠AFD＝90°＋90°＝180°，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠1＝∠2.∵∠AEF＝90°－∠1＝90°－∠2，∠C＝90°－∠2，∴∠AEF＝∠C，∴E，B，C，F四点共圆.法四　连接EF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＋∠AFD＝90°＋90°＝180°，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠3＝∠4.n∵∠AFE＝90°－∠4＝90°－∠3，∠B＝90°－∠3，∴∠AFE＝∠B，∴E，B，C，F四点共圆.