高中数学第一章不等关系与基本不等式滚动训练二（4第1课时_第3课时）北师大版 5页

第一章不等关系与基本不等式滚动训练二一、选择题1．设Q表示要证明的结论，Pn(n＝1,2,3，…)表示一个明显成立的条件，那么下列表示的证明方法是(　　)Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件A．综合法B．分析法C．反证法D．比较法答案　B解析　分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，只要使结论成立的充分条件已具备，此结论就一定成立．故选B.2．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容应是(　　)A.＝B.＜C.＝且＜D.＝或＜答案　D解析　与大小包括＞，＝，＜三方面的关系，所以＞的反设应为＝或＜.3．若a＞b＞0，下列各式中恒成立的是(　　)A.＞B.＞C．a＋＞b＋D．aa＞bb答案　B解析　利用不等式的性质，得当a＞b＞0时，＜，由此可知，C不恒成立；当0＜a＜1，a＞b时，可知aa＜bb，D不能恒成立；选取适当的特殊值，若a＝2，b＝1，可知＝，＝2，由此可见A不恒成立．综上可知排除A，C，D，故选B.4．设a，b，c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是(　　)A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|nB．a2＋≥a＋C．|a－b|＋≥2D.－＜－答案　C解析　对于C，当a＞b时，成立；当a＜b时，不成立．5．要使－＜成立，a，b应满足的条件是(　　)A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0且a＜bD．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b答案　D解析　要使－＜成立，只需(－)3＜()3，即a－3＋3－b＜a－b，只需＜，只需ab2＜a2b，只需ab(a－b)＞0，只需ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b.6．若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)A．1B.C．9D．16答案　B解析　＋＝＝≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故选B.二、填空题n7．设a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小顺序是________．答案　a＞b＞c解析　a－b＝－－＋＝＋－(＋)，而(＋)2＝8＋2，(＋)2＝8＋2，∴＋＞＋，∴a－b＞0，即a＞b.同理可知b＞c，∴a＞b＞c.8．已知a，b，c，d都为正数，且S＝＋＋＋，则S的取值范围是________．答案　(1,2)解析　由放缩法，得＜＜；＜＜；＜＜；＜＜.以上四个不等式相加，得1＜S＜2.9．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．答案　a≥0，b≥0，a≠b解析　由及知a≥0，b≥0，又a＋b≠a＋b，∴a≠b，∴a≥0，b≥0，a≠b.10．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_____．答案　4解析　(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2，当y＝x时取等号，所以(x＋y)(＋)的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9恒成立，所以a≥4.n三、解答题11．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.解　因为b2＋c2≥2bc，a2＞0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.①同理b2(a2＋c2)≥2ab2c，②c2(a2＋b2)≥2abc2.③由①②③，得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，所以a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．由a，b，c都是正数，得a＋b＋c＞0，因此≥abc(当且仅当a＝b＝c时等号成立)．12．已知a≥－1，求证以下三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．证明　假设三个方程都没有实数解，则Δ1＝16a2－4×(－4a＋3)＝16a2＋16a－12＜0，Δ2＝(a－1)2－4×a2＝－3a2－2a＋1＜0，Δ3＝4a2－4(－2a)＝4a2＋8a＜0，∴解得－＜a＜－1，这与a≥－1矛盾．∴三个方程中至少有一个方程有实数解．13．求证：1＋＋＋…＋＜2.证明　设k＞2，则＜＝，∴1＋＋＋…＋＜1＋＋＋…＋＝＝2－＜2.∴1＋＋＋…＋＜2.四、探究与拓展14．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋nn)＝0，n∈N＋.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.(1)解　令n＝1，得S－(－1)S1－3×2＝0，即S＋S1－6＝0，所以(S1＋3)(S1－2)＝0，因为S1＞0，所以S1＝2，即a1＝2.(2)解　由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，得(Sn＋3)[Sn－(n2＋n)]＝0，因为an＞0(n∈N＋)，Sn＞0，从而Sn＋3＞0，所以Sn＝n2＋n，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，又a1＝2＝2×1，所以an＝2n(n∈N＋)．(3)证明　设k≥2，则＝＜＝，所以＋＋＋…＋＜＋＝＋－＜.所以＋＋…＋＜.