高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理同步指导练习新人教a版 5页

三圆的切线的性质及判定定理一、基础达标1.下列说法中正确的个数是(　　)①过圆心且垂直于切线的直线必过切点；②过切点且垂直于切线的直线必过圆心；③过半径的一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④同心圆内大圆的弦AB是小圆的切线，则切点是AB的中点.A.2B.3C.4D.5解析　由切线的判定及性质定理知：①②④正确，③不正确，过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线或直径.答案　B2.如图所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，点P是弧EG上的任意一点，则∠EPF等于(　　)A.120°B.90°C.60°D.30°解析　如图所示，连接OE，OF.∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°.∴∠EOF＋∠ABC＝180°.∴∠EOF＝120°.∴∠EPF＝∠EOF＝60°.答案　C3.如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO等于(　　)A.B.C.D.解析　连接BD，作OE⊥AC于E.∵BC切⊙O于B，∴AB⊥BC，∵AB为直径，∴BD⊥AC，∵AD＝DC，∴BA＝BC，∠A＝45°，设⊙O的半径为R，∴OC＝＝＝R.nOE＝R，∴sin∠ACO＝＝＝.答案　A4.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则|O1O2|＝________.解析　设⊙O1和⊙O2的半径均为r，则S△ABC＝·AB·BC＝·r·(AB＋BC＋AC).∴×5×12＝×r×(5＋12＋).∴r＝2.∴|O1O2|＝＝.答案　5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若AB与圆相切，则r＝________.解析　过C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，AB＝＝5，∴CD·AB＝AC·BC，∴CD＝＝2.4cm，∵AB与圆相切，∴r＝CD＝2.4cm.答案　2.4cm6.如图所示，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE＝BE，E在BC上，试说明PE是⊙O的切线.解　连接OP，BP.∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠BPC＝90°.又∵BE＝CE，∴PE＝EB，∴∠3＝∠1.n又∵OP＝OB，∴∠4＝∠2.由BC切⊙O于B，知∠1＋∠2＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，即OP⊥PE.∴PE为⊙O的切线.二、能力提升7.如图所示，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB＝2，半圆O的半径为2，则BC的长为(　　)A.2B.1C.1.5D.0.5解析　连接OD，∵AD切⊙O于D，∴OD⊥AD，又∵BC⊥AD，∴OD∥BC，∴△DOA∽△CBA，∴＝，∴BC＝＝1.答案　B8.如图所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于B，DC的延长线交AB于A，∠A＝20°，则∠DBE＝________.解析　连接OB，则OB⊥AB，∴∠AOB＝90°－∠A＝70°，∴∠BOD＝180°－∠AOB＝110°，又∵OB＝OD，∴∠OBD＝(180°－∠BOD)＝35°，∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.答案　55°9.如图所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB＝________.解析　如图所示，连接OD，则OD⊥AC.∵AC是⊙O的切线，∴OB＝OD，OC＝OC，∠ODC＝∠OBC＝90°.∴△CDO≌△CBO.∴BC＝DC.∵＝，∴AD＝DC.∴BC＝AC.又OB⊥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝30°.n∴OB＝OD＝AO.∴＝.答案　2∶110.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E.求证：CF是⊙O的切线.证明　连接OC，∵AB是⊙O的直径.∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝60°.在Rt△EMB中，∵∠E＋∠MBE＝90°，∴∠E＝30°.∵∠E＝∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴∠ECF＋∠OCB＝90°，又∵∠ECF＋∠OCB＋∠OCF＝180°，∴∠OCF＝90°，∴CF为⊙O的切线.11.如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE.(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径.(1)证明　在△OCP与△CEP中，∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE，∴∠OCP＝∠CEP.∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°，∴∠OCP＝90°.又C点在圆上，∴PC是⊙O的切线.(2)解　设OE＝x，则EA＝2x，OC＝OA＝3x.∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°，∴△OCE∽△OPC，∴＝.n即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1，∴OA＝3x＝3，即圆的半径为3.三、探究与创新12.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG.证明：A，B，G，F四点共圆.证明　(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)易知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.因为CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠EAB＝∠EBA，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆.