高中数学第四章数系的扩充与复数的引入2.1复数的加法与减法学案北师大版 9页

2．1　复数的加法与减法学习目标　1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．知识点　复数代数形式的加减法思考　类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案　两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.梳理　(1)运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　√　)2．复数的加、减法满足交换律和结合律．(　√　)类型一　复数的加法、减法运算例1　(1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________.(2)已知复数z满足|z|i＋z＝1＋3i，则z＝________.考点　复数的加减法运算法则题点　复数加减法的综合应用答案　(1)－1　(2)1＋i解析　(1)z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，由题意得a＋1＝0，则a＝－1.(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，n∴|z|i＋z＝i＋x＋yi＝x＋(＋y)i＝1＋3i，∴解得∴z＝1＋i.反思与感悟　(1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R)．跟踪训练1　(1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________.(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋i，则z＝________.考点　复数的加减法运算法则题点　复数加减法的综合应用答案　(1)6－2i　(2)－a＋(4b－3)i　(3)i解析　(1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i.(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋i，∴解得　∴z＝i.类型二　复数加、减法的应用例2　(1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求：①表示的复数；②表示的复数；③表示的复数．解　因为A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，由复数的几何意义知，与表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i.①因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.②因为＝－，所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.n③＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.解　根据复数加减法的几何意义，由|z1|＝|z2|知，以，为邻边的平行四边形OACB是菱形．如图，对应的复数为z1，对应的复数为z2，∴||＝||，对应的复数为z1＋z2，∴||＝.在△AOC中，||＝||＝1，||＝，∴∠AOC＝30°.同理得∠BOC＝30°，∴△OAB为等边三角形，则||＝1，对应的复数为z1－z2，∴|z1－z2|＝1.引申探究　若将本例(2)中的条件“|z1＋z2|＝”改为“|z1－z2|＝1”，求|z1＋z2|.解　如例2(2)解析中的图，向量表示的复数为z1－z2，∴||＝1，则△AOB为等边三角形，∴∠AOC＝30°.取AB与OC的交点为D，则||＝，∴||＝，而表示的复数为z1＋z2，∴|z1＋z2|＝.反思与感悟　(1)技巧：①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形：①OACB为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；n④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．跟踪训练2　(1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝________.(2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________．答案　(1)　(2)(－∞，1)解析　(1)∵＝＋，∴表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，∴||＝＝.(2)z2－z1＝1＋(a－1)i，由题意知a－1<0，即a<1.1．已知复数z1＝－i和复数z2＝cos60°＋isin60°，则z1＋z2等于(　　)A．1B．－1C.－iD.＋i答案　A解析　∵z2＝＋i，∴z1＋z2＝1.2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　D解析　∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．3．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，则表示的复数为(　　)A．2＋8iB．－6－6iC．4－4iD．－4＋2in答案　C解析　＝－＝－(＋)＝4－4i.4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.答案　－1解析　∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1.5．设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是__________．答案　5－2i解析　设AC与BD的交点为E，则E点坐标为，设点C坐标为(x，y)，则x＝5，y＝－2，故点C对应的复数为5－2i.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．一、选择题1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是(　　)A．1B．2C．－2D．－1答案　A解析　z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，即　∴x＝y＝1，则xy＝1.2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为(　　)A．1B．2C．－2D．－2或1答案　C解析　z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，由题意知　解得a＝－2.3．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，则z等于(　　)nA．－＋iB.－iC．－－iD.＋i答案　D解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝2＋i，则　解得∴z＝＋i.4．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(　　)A.B．5C.D．5答案　D解析　∵z1－z2＝5＋5i，∴f(z1－z2)＝|z1－z2|＝5.5．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D表示的复数是(　　)A．1－3iB．－3－iC．3＋5iD．5＋3i答案　C解析　∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，∴对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，∵＝，∴(x－1，y－3)＝(2,2)，∴　解得∴点D表示的复数为3＋5i.6．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)答案　A解析　由图知z＝－2＋i，则z＋1＝－1＋i，由复数的几何意义可知，A正确．7．复数z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)nA．3－2B.－1C．3＋2D.＋1答案　D解析　|z1－z2|＝|(1－sinθ)＋(cosθ＋1)i|＝＝＝.∵max＝1，∴|z1－z2|max＝＝＋1.二、填空题8．计算(5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝________.答案　－10i解析　(5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－5－1－4)i＝－10i.9．已知x，y∈R，i为虚数单位，(x－2)i＋3－y＝1－i，则x－y－(x＋y)i＝________.答案　－1－3i解析　依据复数相等的条件，得到即所以x－y－(x＋y)i＝－1－3i.10．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.答案　－4i解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)．∵z＝|z|－3－4i，∴a＋bi＝－3－4i，∴解得∴z＝－4i.11．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.答案　5－9i　－8－7i解析　∵z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，∴解得∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.三、解答题12．计算：n(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解　(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.13．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．解　∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝＋(m2－2m－15)i.∵z1＋z2为虚数，∴m2－2m－15≠0且m≠－2，解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．四、探究与拓展14．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值为________．答案　解析　∵|x－2＋yi|＝，∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识易知，的最大值为.15．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．n解　(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又＝＋，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为＝，所以向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为·＝||||cosB，所以cosB＝＝＝.所以sinB＝.所以S＝||||sinB＝××＝7，所以平行四边形ABCD的面积为7.