湖南省师大附中2019届高考数学模拟卷（二）理 11页

湖南省师大附中2019届高考数学模拟卷（二）理时量：120分钟　　　满分：150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则(C)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．M＝NB．MNC．NMD．M∩N＝2．若复数z＝(1－ai)(a＋2i)在复平面内对应的点在第一象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a取值范围是(A)A．(0，)B．(，＋∞)C．(－∞，－)D．(－，0)3．如果等差数列a1，a2，…，a8的各项都大于零，公差d≠0，则(B)A．a1＋a8＞a4＋a5B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＜a4＋a5D．a1a8＞a4a5【解析】由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除A、C.又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a＋7a1d，∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a＋7a1d＋12d2＞a1·a8，故选B.4．若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(B)A．1B．2C．4D．8【解析】由题知＋＝kπ＋(k∈Z)ω＝6k＋2(k∈Z)，故ωmin＝2.5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n的值为(A)A．100B．1000C．90D．900【解析】支出在[50，60)元的频率为1－(0.1＋0.24＋0.36)＝0.3.∴样本容量n＝＝100.6．已知一个几何体的三视图如图所示(正方形的边长为1)，则该几何体的体积为(B)nA.B.C.D.【解析】由题意可知几何体的形状如图，是长方体中截出的棱锥(底面是梯形，高为，底面梯形下底边长为1，上底边长为，高为1)的剩余部分，所以几何体的体积为：1－××××1＝，故选B.7．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是(D)A.B.C.D.【解析】在不超过20的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，随机选取两个不同的数共有C＝28种，随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，故可得随机选取两个不同的数，其和等于20的概率P＝，故选D.8.下列图象可以作为函数f(x)＝的图象有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】当a<0时，如取a＝－4，则f(x)＝，其定义域为：{x|x≠±2}，它是奇函数，图象是(3)，所以(3)是正确的；当a>0时，如取a＝1，则f(x)＝，其定义域为nR，它是奇函数，图象是(2)，所以(2)是正确的；当a＝0时，则f(x)＝，其定义域为：{x|x≠0}，它是奇函数，图象是(4)，所以(4)正确．故选C.9．已知点集M＝，则平面直角坐标系中区域M的面积是(D)A．1B．3＋C．πD．2＋【解析】当xy≤0时，只需要满足x2≤1，y2≤1即可；当xy>0时，对不等式两边平方整理得到x2＋y2≤1，所以区域M如下图．易知其面积为2＋.10．已知向量a＝，b＝(0，5)的起点均为原点，而终点依次对应点A，B，线段AB边上的点P，若⊥，＝xa＋yb，则x，y的值分别为(C)A.，B.，－C.，D．－，【解析】＝xa＋yb＝x＋y(0，5)＝,＝b－a＝，∵⊥，∴－x＋25y＝0x＝4y，①又∵A，B，P三点共线，∴x＋y＝1，②由①②得x＝，y＝.故选C.11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，＝＝，＝1，而对角线A1B上存在一点P，使得＋取得最小值，则此最小值为(D)A．2B．3C．1＋D.【解析】把对角面A1BCD1绕A1B旋转到与△AA1B在同一平面上的位置，连接AD1，n在△AA1D1中，|AA1|＝1，|A1D1|＝，∠AA1D1＝∠AA1B＋90°＝150°，则|AP|＋|D1P|的最小值为：AD1＝＝，故选D.12．已知a>0，函数f(x)＝ex－a－ln(x＋a)－1(x>0)的最小值为0，则实数a的取值范围是(C)A.B.C.D．【解析】由题意知f(a)＝ea－a－ln(a＋a)－1≥0，即00不符合题意，舍去；②当a＝时，f(x)＝ex－－ln－1≥－－1＝0.则a＝，故选C.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．定积分(ex－e－x)dx＝__0__．14．(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为__－20__．(用数字填写答案)【解析】(x＋y)8中，Tr＋1＝Cx8－ryr，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.15．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－y2＝4有相同的右焦点F2，点P是椭圆C1和双曲线C2的一个公共点，若＝2，则椭圆C1的离心率为____．【解析】设另一个焦点是F1，由双曲线的定义可知－＝4，＝6，2a＝8，a＝4，c＝2，故e＝＝＝.16．已知数列，均为等差数列，且a1b1＝m，a2b2＝4，a3b3＝8，a4b4＝16，则m＝__4__.【解析】设an＝an＋b，bn＝cn＋d，则anbn＝＝acn2＋(bc＋ad)n＋bd，令cn＝anbn，则dn＝cn＋1－cn＝2acn＋(ac＋ad＋bc)构成一个等差数列，故由已给出的a2b2＝4，a3b3＝8，a4b4＝16，可求得m＝4.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本题满分12分)已知在△ABC中，D，E分别为边AB，BC的中点，2·＝·，(1)若2·＝·，且△ABC的面积为3，求边AC的长；n(2)若BC＝，求线段AE长的最大值．【解析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由2·＝·，得2bccosA＝bc，所以cosA＝，又A∈(0，π)，因此A＝.2分(1)由2·＝·，即2·＝·(＋)，得3bc＝c2，即3b＝c.又因为S△ABC＝bcsinA＝b2＝3，所以b＝2，即边AC的长为2.7分(2)因为E为边BC的中点，所以＝(＋)，即2＝(＋)2＝(b2＋c2＋bc)，9分又因为BC＝，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cosA，即b2＋c2＝a2＋bc＝3＋bc≥2bc，即bc≤3，所以2＝(3＋2bc)≤，≤，当且仅当b＝c时取等号，所以线段AE长的最大值为.12分18．(本题满分12分)如图1，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，E为CD上一点，F为BE的中点，且DE＝1，EC＝2，现将梯形沿BE折叠(如图2)，使平面BCE⊥平面ABED.(1)求证：平面ACE⊥平面BCE；(2)能否在边AB上找到一点P(端点除外)使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为？若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．【解析】(1)在直角梯形ABCD中，作于DM⊥BC于M，连接AE，则CM＝2－1＝1，CD＝DE＋CE＝1＋2＝3，则DM＝AB＝2，cosC＝，2分则BE＝＝，sin∠CDM＝，n则AE＝＝，∴AE2＋BE2＝AB2，4分故AE⊥BE，且折叠后AE与BE位置关系不变，又∵平面BCE⊥平面ABED，且平面BCE∩平面ABED＝BE，∴AE⊥平面BCE，∵AE平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE.6分(2)∵在△BCE中，BC＝CE＝2，F为BE的中点，∴CF⊥BE.又∵平面BCE⊥平面ABED，且平面BCE∩平面ABED＝BE，∴CF⊥平面ABED，7分故可以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A，C，E，易求得平面ACE的法向量为m＝(0，－，1)．假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为，且＝λ，(λ∈R)，∵B，∴＝，故＝，又＝，∴＝，又＝，设平面PCF的法向量为n＝(x，y，z)，∴令x＝2λ－1得n＝(2λ－1，(λ－1)，0)，n∴|cosm，n|＝＝，11分解得λ＝，因此存在点P且P为线段AB中点时使得平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为.12分19．(本题满分12分)近期，某市公交公司推出扫码支付1分钱乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.629路公交车统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：表1：x1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了散点图．(1)根据散点图判断，在推广期内，y＝a＋bx与y＝c·dx(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下支付方式现金乘车卡扫码比例10%60%30%车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受7折优惠，有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n(n∈N*)年才能开始盈利，求n的值．参考数据：xiyixivi100.5462.141.54253550.123.47n其中vi＝lgyi，＝i.参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝＝0.25，5分把样本中心点(4，1.54)代入v＝lgc＋lgd·x，得lgc＝0.54，∴＝0.54＋0.25x，∴lg＝0.54＋0.25x，6分∴y关于x的回归方程式：＝100.54＋0.25x＝100.54(100.25)x＝3.47(100.25)x，把x＝8代入上式：∴＝100.54＋0.25×8＝102.54＝102×100.54＝347，所以活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470.7分(3)记一名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4，P(Z＝2)＝0.1，P(Z＝1.8)＝0.3×＝0.15，P(Z＝1.6)＝0.6＋0.3×＝0.7，P(Z＝1.4)＝0.3×＝0.05，所以一名乘客一次乘车的平均费用为：2×0.1＋1.8×0.5＋1.6×0.7＋1.4×0.05＝1.66(元)，10分由题意可知：1.66×1×12·n－0.66×12·n－80>0，n>，所以n取7，估计这批车大概需要7年才能开始盈利.12分20．(本题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x＋y－2＝0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同的交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】(1)由椭圆的离心率e＝，得＝＝，得b＝c.上顶点为(0，b)，右焦点为(b，0)，以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为＋＝＝，∴＝b，即|b－2|＝b，得b＝c＝1，a＝，∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.5分n(2)椭圆C上不存在这样的点Q，理由如下：设直线的方程为y＝2x＋t，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，7分故y0＝＝，且－3＜t＜3.由＝，得＝(x4－x2，y4－y2)，所以有y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－.9分(也可由＝知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y0＝＝，可得y4＝.)又－3＜t＜3，所以－＜y4＜－1，11分与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．故椭圆C上不存在这样的点Q.12分21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ex.(1)设函数h(x)＝f(x)＋x2＋ax(a∈R)，讨论h(x)的极值点个数；(2)设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0，f(x0))处的切线，试探究：在区间(1，＋∞)上是否存在唯一的x0，使得直线l与曲线y＝g(x)相切．【解析】由题意得h′(x)＝＋x＋a＝(x>0)，令Δ＝a2－4，1分①当Δ＝a2－4≤0即－2≤a≤2时，h′(x)＝≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，此时h(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，极值点个数为0；2分②当a>2时，h′(x)＝≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，此时h(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，极值点个数为0；3分③当a<－2时，Δ>0，设x1，x2是x2＋ax＋1＝0的两根，则x1＋x2＝－a>0，x1x2＝1>0，故x1>0，x2>0，此时h(x)在(0，＋∞)上有两个极值点.5分综上所述，当a<－2时，h(x)有两个极值点，a≥－2时，h(x)没有极值点.6分(2)∵f′(x)＝，∴f′(x0)＝，∴切线l的方程为y－lnx0＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0－1.7分n设直线l与曲线y＝g(x)相切于(x1，ex1)，∵g′(x)＝ex，∴ex1＝即x1＝－lnx0，∴g(x1)＝ex1＝e－lnx0＝，∴直线l的方程也为y－＝(x＋lnx0)，即y＝x＋＋，8分∴lnx0－1＝＋，即lnx0＝.9分下证：在区间(1，＋∞)上x0存在且唯一．设φ(x)＝lnx－(x>1)，φ′(x)＝－＝＋>0，则φ(x)在(1，＋∞)上单调递增.10分又φ(e)＝lne－＝<0，φ(e2)＝lne2－＝>0，由零点存在性定理知：存在x0∈(e，e2)，使得φ(x0)＝0，即lnx0＝.故在区间(1，＋∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y＝g(x)相切.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，将曲线C1向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，C1的极坐标方程为ρ＝4cosα.(1)求曲线C2的参数方程；(2)直线l的参数方程为(t为参数)，求曲线C2上到直线l的距离最短的点的直角坐标．【解析】(1)由ρ＝4cosα得ρ2＝4ρcosα将ρ2＝x2＋y2，ρ·cosα＝x代入整理得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4,2分设曲线C1上的点为(x′，y′)，变换后的点为(x，y)，由题可知坐标变换为即代入曲线C1的普通方程，整理得曲线C2的普通方程为＋y2＝1，4分∴曲线C2的参数方程为(θ为参数).5分n(2)直线l的参数方程为(t为参数)，直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0，设曲线C2上的点为P(2cosθ，sinθ)，0≤θ≤2π，则点P到直线l的距离为d＝＝，其中cosφ＝，sinφ＝，当θ＋φ＝π时，dmin＝＝，8分此时2cosθ＝2cos(π－φ)＝－＝－，sinθ＝sin(π－φ)＝＝，即此时点P的直角坐标为，所以曲线C2上到直线l的距离最短的点的直角坐标为.10分23．(本题满分10分)选修4－5：不等式选讲设f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.(1)求f(x)≤x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【解析】(1)由f(x)≤x＋2得：或或3分解得0≤x≤2，∴f(x)≤x＋2的解集为{x|0≤x≤2}.5分(2)＝≤＝3，当且仅当≤0时，取等号.7分由不等式f(x)≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x－1|＋|x＋1|≥3，解得x≤－或x≥.故实数x的取值范围是∪.10分