高考数学复习导数及其应用第20练利用导数研究不等式问题练习 7页

第20练利用导数研究不等式问题[基础保分练]1．(2019·雅安中学月考)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且f(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－∞，－3)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3,0)∪(0,3)2．设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)>f′(x)成立，则(　　)A．2018f(ln2017)>2017f(ln2018)B．2018f(ln2017)<2017f(ln2018)C．2018f(2017)>2017f(2018)D．2018f(2017)<2017f(2018)3．(2018·遵义模拟)已知函数f(x)＝x－(e－1)·lnx，则不等式f(ex)<1的解集为(　　)A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(0，e)D．(e，＋∞)4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，不等式f(x)＋xf′(x)<0恒成立．若a＝30.3f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝log3·f，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>cB．c>b>aC．c>a>bD．a>c>b5．(2019·广东省高三第一次联考)已知定义在R上的可导函数f(x)满足f′(x)＋f(x)<0，设a＝f(m－m2)，b＝em2－m＋1·f(1)，则a，b的大小关系是(　　)A．abC．a＝bD．a，b的大小与m有关6．已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，f(0)＝2019，若对任意的x∈R，都有f(x)>f′(x)，则不等式f(x)<2019ex的解集为(　　)A．(0，＋∞)B.C.D．(－∞，0)7．(2018·宜宾模拟)已知函数f(x)＝xlnx＋x(x－a)2(a∈R)．若存在x∈，使得f(x)>xf′(x)成立，则实数a的取值范围是(　　)A.B.C．(，＋∞)D．(3，＋∞)8．已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，满足f(x)>0且f(x)＋f′(x)<0(f′(x)为函数的导函数)，若0(a＋1)f(b)B．f(b)>(1－a)f(a)C．af(a)>bf(b)D．af(b)>bf(a)9．设函数f(x)＝x3＋mx2－3m2x＋2m－1(m>0)．若存在f(x)的极大值点x0，满足x＋[f(0)]2<10m2，则实数m的取值范围是________．10．已知函数f(x)＝(x＋m)lnx，m∈R，当x≠1时，恒有(x－1)f′(x)>0，则关于x的不等式f(x)<2x－2的解集为________．[能力提升练]1．(2018·邯郸模拟)已知f(x)＝lnx－＋，g(x)＝－x2－2ax＋4.若对任意x1∈(0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则a的取值范围是(　　)A.B.C.D.2．设函数f(x)是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有2f(x)＋xf′(x)>x2，则不等式(x＋2017)2f(x＋2017)－9f(－3)>0的解集为(　　)A．(－∞，－2020)B．(－∞，－2014)C．(－2014,0)D．(－2020,0)3．若存在实数x，使得关于x的不等式＋x2－2ax＋a2≤(其中e是自然对数的底数)成立，则实数a的取值集合为(　　)A.B.C.D.4．(2019·厦门外国语学校月考)已知函数f(x)＝＋xlnx，g(x)＝x3－x2－5，若对任意的x1，x2∈，都有f(x1)－g(x2)≥2成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，－1]5．已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若存在x1，x2∈R，使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是________________．6．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(2)＝7，且f(x)导函数f′(x)<3，则不等式f(lnx)>3lnx＋1的解集为________．n答案精析基础保分练1．B　2.A　3.A　4.C　5.B6．A　[根据题意，设g(x)＝，其导数g′(x)＝＝，又由对任意的x∈R，都有f(x)>f′(x)，则有g′(x)<0，则函数g(x)在R上为减函数，又由f(0)＝2019，则g(0)＝＝2019，f(x)<2019ex⇒<2019⇒g(x)0，即不等式的解集为(0，＋∞)．故选A.]7．C　[由f(x)>xf′(x)成立，可得′<0.设g(x)＝＝lnx＋(x－a)2(x>0)，则存在x∈，使得g′(x)<0成立，即g′(x)＝＋2(x－a)<0成立，即a>min即可．又x＋≥2＝，当且仅当x＝，即x＝时取等号，∴a>.故选C.]8．C　[构造函数F(x)＝exf(x)(x>0)，F′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]<0，所以F(x)是(0，＋∞)上的减函数．令0F，可得f(x)>f，下面证明>，即证明－x＋2lnx>0，令g(x)＝－x＋2lnx，则g′(x)＝－<0，即g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)>g(1)＝0，即>，所以f(x)>f>f，n即xf(x)>f，若0bf(b)．故选C.]9.解析　对f(x)求导得f′(x)＝x2＋2mx－3m2＝(x＋3m)(x－m)(m>0)，则由f′(x)>0得，x>m或x<－3m，由f′(x)<0得，－3m0，则当x>1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上为单调递增函数；当00)，则当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2]时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝.对于二次函数g(x)＝－x2－2ax＋4，该函数开口向下，所以其在区间[1,2]上的最小值在端点处取得，所以要使对∀x1∈(0,2]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，只需f(x1)min≥g(x2)min，即≥g(1)或≥g(2)，所以≥－1－2a＋4或≥－4－4a＋4，n解得a≥－.故选A.]2．A　[根据题意，令g(x)＝x2f(x)，x∈(－∞，0)，故g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，而2f(x)＋xf′(x)>x2>0，故当x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，(x＋2017)2f(x＋2017)－9f(－3)>0，即(x＋2017)2f(x＋2017)>(－3)2f(－3)，则有g(x＋2017)>g(－3)，则有x＋2017<－3，解得x<－2020，即不等式(x＋2017)2f(x＋2017)－9f(－3)>0的解集为(－∞，－2020)．故选A.]3．C　[不等式＋x2－2ax＋a2≤，即(x－a)2＋2≤，表示点与的距离的平方不超过，即最大值为.由在直线l：y＝x上，设与直线l平行且与曲线y＝相切的直线的切点为(m，n)，可得切线的斜率为＝，解得m＝0，n＝，切点为，由切点到直线l的距离为直线l上的点与曲线y＝的距离的最小值，可得(0－a)2＋2＝，解得a＝，则实数a的取值集合为，故选C.]4．B　[由于g(x)＝x3－x2－5，则g′(x)＝3x2－2x＝x(3x－2)，∴函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，g＝－－5＝－，g(2)＝8－4－5＝－1.由于对任意x1，x2∈，nf(x1)－g(x2)≥2恒成立，所以f(x)≥[g(x)＋2]max＝g(x)max＋2＝1，即x∈时，f(x)≥1恒成立，即＋xlnx≥1在上恒成立，所以a≥x－x2lnx在上恒成立，令h(x)＝x－x2lnx，则h′(x)＝1－2xlnx－x，而h″(x)＝－3－2lnx，当x∈时，h″(x)<0，所以h′(x)＝1－2xlnx－x在上单调递减，由于h′(1)＝0，所以当x∈时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1,2)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，所以h(x)≤h(1)＝1，即a≥1.]5.解析　f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．当x>－1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x<－1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的最小值为f(－1)＝－.又函数g(x)的最大值为a，所以由题意可得－≤a，即a≥－.6．(0，e2)解析　设t＝lnx，则不等式f(lnx)>3lnx＋1等价为f(t)>3t＋1，设g(x)＝f(x)－3x－1，则g′(x)＝f′(x)－3，∵f(x)的导函数f′(x)<3，∴g′(x)＝f′(x)－3<0，n函数g(x)＝f(x)－3x－1单调递减，∵f(2)＝7，∴g(2)＝f(2)－3×2－1＝0，则此时g(t)＝f(t)－3t－1>0＝g(2)，解得t<2，即f(t)>3t＋1的解为t<2，所以lnx<2，解得03lnx＋1的解集为(0，e2)．