高考数学复习平面解析几何第72练高考大题突破练—圆锥曲线中的范围、最值问题练习 6页

第72练高考大题突破练—圆锥曲线中的范围、最值问题[基础保分练]1．(2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x＜0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．2．已知圆M：x2＋y2＋2y－7＝0和点N(0,1)，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC的斜率k1，k2满足k1k2＝4，求△ABC面积的最大值．n3.如图，P为圆M：(x－)2＋y2＝24上的动点，定点Q(－，0)，线段PQ的垂直平分线交线段MP于点N.(1)求动点N的轨迹方程；(2)记动点N的轨迹为曲线C，设圆O：x2＋y2＝2的切线l交曲线C于A，B两点，求|OA|·|OB|的最大值．[能力提升练]4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其短轴的一个端点与两个焦点构成面积为的正三角形，过椭圆C的右焦点作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，试求的取值范围．n答案精析1．(1)证明　设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程2＝4·，即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴．(2)解　由(1)可知所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0，|y1－y2|＝2.所以△PAB的面积S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝因为x＋＝1(－1≤x0＜0)，所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，所以△PAB面积的取值范围是.2．解　(1)圆M：x2＋y2＋2y－7＝0的圆心为M(0，－1)，半径为2，点N(0,1)在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，所以动圆P与圆M内切．设动圆P半径为r，则2－r＝|PM|.因为动圆P经过点N，所以r＝|PN|，|PM|＋|PN|＝2>|MN|，所以曲线E是以M，N为焦点，长轴长为2的椭圆．由a＝，得b2＝2－1＝1，所以曲线E的方程为x2＋＝1.(2)当直线BC的斜率为0时，不合题意．设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线BC：x＝ty＋m，联立方程组得(1＋2t2)y2＋4mty＋2m2－2＝0，ny1＋y2＝－，y1y2＝，又k1k2＝4，知y1y2＝4(x1－1)(x2－1)＝4(ty1＋m－1)·(ty2＋m－1)＝4t2y1y2＋4(m－1)t(y1＋y2)＋4(m－1)2.代入得(1－4t2)＝4(m－1)＋4(m－1)2.又m≠1，化简得(m＋1)(1－4t2)＝2(－4mt2)＋2(m－1)·(1＋2t2)，解得m＝3，故直线BC过定点(3,0)．由Δ>0，解得t2>4，S△ABC＝·2·|y2－y1|＝＝＝≤.综上，△ABC面积的最大值为.3．解　(1)因为|NM|＋|NQ|＝|NM|＋|NP|＝|MP|＝2>2＝|MQ|，∴动点N的轨迹为椭圆，∴a＝，c＝，∴b2＝3，∴动点N的轨迹方程为＋＝1.(2)①当切线l垂直坐标轴时，|OA|·|OB|＝4；②当切线l不垂直坐标轴时，设切线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线和圆相切，得m2＝2＋2k2.由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝，∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(k2＋1)·－km·＋m2＝＝0，∴∠AOB＝90°，又S△ABC＝|OA|·|OB|＝××|AB|，n∴|OA|·|OB|＝|AB|.又∵|AB|＝|x1－x2|＝·＝，令t＝k2，则|AB|＝2＝2≤3，当且仅当k＝±时，等号成立，∴|OA|·|OB|≤3，综上，|OA|·|OB|的最大值为3.4．解　(1)设右焦点的坐标为(c,0)，易知面积为的正三角形的边长为2，依题意知，a2＝b2＋c2＝4，c＝a＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以，椭圆C的方程为＋＝1.(2)设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y＝k(x－1)，将其代入＋＝1中，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，其中，Δ＝144(k2＋1)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝－2k＝，因为P为线段AB的中点，所以点P的坐标为.故点P的坐标为.又直线PD的斜率为－，n直线PD的方程为y－＝－，令y＝0，得x＝，则点D的坐标为，所以|DP|＝＝，又|AB|＝＝＝＝.所以＝＝＝，又k2＋1>1，所以0<<1，所以0<<.所以的取值范围是.