北京市朝阳区2019届高三数学第一次（3月）综合练习（一模）试题理 12页

北京市朝阳区2019届高三数学第一次（3月）综合练习（一模）试题理本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，集合，则A．B．C．D．2．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．的展开式中的常数项为A．B．C．D．4．若函数则函数的值域是A．B．C．D．5．如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是A．B．C．D．n6．记不等式组所表示的平面区域为．“点”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为A．B．C．D．[8．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A．5B．6C．7D．8第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是．10．执行如图所示的程序框图，则输出的值为．11．在极坐标系中，直线与圆相交于两点，则___．n12．能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是．13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是．14．在平面内，点是定点，动点满足，，则集合所表示的区域的面积是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）在中，，，的面积等于，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．16．（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按分组，制成频率分布直方图：n假设乘客乘车等待时间相互独立．（Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；[]（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数且.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）讨论函数的极值．n19．（本小题满分14分）已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点．（Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；（Ⅱ）求证：直线与椭圆相切；（Ⅲ）判断是否为定值，并说明理由．20．（本小题满分13分）在无穷数列中，是给定的正整数，，．（Ⅰ）若，写出的值；（Ⅱ）证明：数列中存在值为的项；（Ⅲ）证明：若互质，则数列中必有无穷多项为．[北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理）答案2019．3一、选择题：（本题满分40分）题号12345678答案BDCAACDB二、填空题：（本题满分30分）题号91011121314答案（答案不唯一）2433402三、解答题：（本题满分80分）15．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由已知得n整理得解得或因为，所以．………………………………………………….8分（Ⅱ）由正弦定理，即．所以……………………………….13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知，乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为．乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为．又.故事件的概率为．………………………………………………………….6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，[所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为.显然，的可能取值为且.所以；；；.故随机变量的分布列为n.……………….13分17．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：因为为正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，平面，所以，．因为，所以两两垂直．分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，，所以，所以．设平面的一个法向量为，则即令，则，所以．设直线与平面所成角为，则．……………….9分（Ⅲ）设，设，则，n所以，所以，所以．设平面的一个法向量为，则因为，所以令，则，所以．在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得．因为，由，所以，解得，所以线段上存在点，使得平面，且．……………….14分18．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）当时，．所以．因为，所以曲线在处的切线方程为．……………….3分（Ⅱ）当时，．函数的定义域为．不等式成立成立成立.设，则．n当变化时，，变化情况如下表：＋－↗极大值↘所以．因为，所以，所以．………………………………………………………………….8分（Ⅲ）求导得.令，因为可得．当时，的定义域为.当变化时，，变化情况如下表：＋－↗极大值↘此时有极大值，无极小值．当时，的定义域为，当变化时，，变化情况如下表：－[＋↘极小值↗此时有极小值，无极大值．……………………………………………….13分n19．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意，，所以离心率，左焦点．………………………………………….4分（Ⅱ）当时直线方程为或，直线与椭圆相切．当时，由得，由题知，，即，所以=．故直线与椭圆相切．………………………………………………………….8分（Ⅲ）设，，当时，，，，，所以，即．当时，由得，则，，．因为n．所以，即．故为定值．………………………………………………………….14分20．(本小题满分13分)解：(I)．.………………………………………………………….3分(II)反证法：假设,由于，记.则.则，,，，，依次递推，有，…，则由数学归纳法易得当时，与矛盾.故存在，使所以，数列必在有限项后出现值为的项．………………………………………….8分(III)首先证明：数列中必有“1”项．用反证法，假设数列中没有“1”项，由(II)知，数列中必有“0”项，设第一个“0”项是，令，，则必有，于是，由，则，因此是的因数，由，则或，因此是的因数.依次递推，可得是的因数，因为，所以这与互质矛盾．所以，数列中必有“1”项．其次证明数列中必有无穷多项为“1”.假设数列中的第一个“1”项是，令，，n则，若，则数列中的项从开始，依次为“1，1，0”的无限循环，故有无穷多项为1；若，则，若，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若，则从开始的项依次为，……，必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．……13分