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- 2022-04-13 发布
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第18练用导数研究函数的单调性[基础保分练]1．若f(x)＝x3－ax2＋1在(1,3)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，3]B.C.D．(0,3)2．设函数f(x)＝ax3－x2(a>0)在(0,2)上不单调，则a的取值范围是( )A．a>1B．00，其中f′(x)为f(x)的导数，设a＝f(0)，b＝2f(ln2)，c＝ef(1)，则a，b，c的大小关系是( )A．c>b>aB．a>b>cC．c>a>bD．b>c>a4．(2019·厦门外国语学校月考)已知函数f(x)＝sinx－x，x∈[0，π]，且cosx0＝，x0∈[0，π]那么下列命题中真命题的序号是( )①f(x)的最大值为f(x0)；②f(x)的最小值为f(x0)；③f(x)在[0，π]上是减函数；④f(x)在[x0，π]上是减函数．A．①③B．①④C．②③D．②④5．若0lnx2－lnx1B．0时，xf′(x)>f(x)，若f(2)＝0，则不等n式>0的解集为( )A．{x|－22}C．{x|－22}D．{x|x<－2或00恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数，已知函数f(x)＝x3－x2＋1在区间D上为凹函数，则x的取值范围是________．10．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式exf(x)>ex＋3(其中e为自然对数的底数)的解集为________．[能力提升练]1．(2018·湖南省澧县一中检测)设函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，已知f′(x)0时，总有f(x)·g′(x)0的解集为( )A．(1,2)∪(3，＋∞)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－3，－2)∪(－1，＋∞)D．(－1,0)∪(3，＋∞)3．定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(3)＝0，且当x>0时，不等式f(x)>－xf′(x)恒成立，则函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为( )A．1B．2C．3D．44．(2019·四川省眉山市仁寿第一中学调研)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xlnx·f′(x)<－f(x)，则使得(x2－4)f(x)>0成立的x的取值范围是( )nA．(－2,0)∪(0,2)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－2,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)5．已知y＝f(x)(x∈R)的导函数为f′(x)，若f(x)－f(－x)＝2x3，且当x≥0时f′(x)>3x2，则不等式f(x)－f(x－1)>3x2－3x＋1的解集是________．6．若函数ex·f(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；④f(x)＝x2＋2.答案精析基础保分练1．B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.B7．C [令g(x)＝，x∈R且x≠0.∵x＞0时，g′(x)＝>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(－x)＝f(x)，∴g(－x)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数，g(x)在(－∞，0)上单调递增，∵g(2)＝＝0，∴0＜x＜2时，g(x)＜0，x＞2时，g(x)＞0，根据函数的奇偶性，g(－2)＝－g(2)＝0，－2＜x＜0时，g(x)＞0，x＜－2时，g(x)＜0，综上所述，不等式>0的解集为{x|－22}．故选C.]n8．B [令g(x)＝f(x)－x2，∀x∈R都有f′(x)0，故使得不等式f(x)－2ex<0成立的x的取值范围是(0，＋∞)，故选B.]2．A [令h(x)＝，x∈R，因为′＝>0，其中x>0，所以h(x)在(0，＋∞)上是增函数，又h(－x)＝－h(x)，故h(x)在R上是奇函数，且h(1)＝h(－1)＝0，所以当x>1或－10，因为>0，所以x－2>1或－13或10时，f(x)>－xf′(x)，即f(x)＋xf′(x)>0，∴[xf(x)]′>0，函数h(x)＝xf(x)在x>0时是增函数，n又h(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，∴h(x)＝xf(x)是偶函数．∴当x<0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R，且f(0)＝f(3)＝f(－3)＝0，可得函数y1＝xf(x)与y2＝－lg|x＋1|的大致图象如图所示，∴由图象知，函数g(x)＝xf(x)＋lg|x＋1|的零点的个数为3，故选C.]4．D [根据题意，设g(x)＝lnx·f(x)(x>0)，其导数g′(x)＝(lnx)′f(x)＋lnxf′(x)＝f(x)＋lnxf′(x)，又由当x>0时，lnx·f′(x)<－·f(x)，得g′(x)＝f(x)＋lnx·f′(x)<0，即函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数，又由g(1)＝ln1·f(1)＝0，则在区间(0,1)上，g(x)＝lnx·f(x)>g(1)＝0，又由lnx<0，得f(x)<0；在区间(1，＋∞)上，g(x)＝lnx·f(x)0，得f(x)<0，则在(0,1)和(1，＋∞)上f(x)<0，当x>0时，xlnx·f′(x)<－f(x)，令x＝1得，0<－f(1)，则f(1)<0，即在(0，＋∞)上f(x)<0，又由f(x)为奇函数，则在区间(－∞，0)上，都有f(x)>0，(x2－4)f(x)>0⇔或解得x<－2或03x2，即F′(x)>0，所以F(x)在[0，＋∞)上为增函数．不等式f(x)－f(x－1)>3x2－3x＋1化为F(x)>F(x－1)，所以有|x|>|x－1|，解得x>.6．①④解析 对于①，f(x)＝2－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·2－x＝x为实数集上的增函数；对于②，f(x)＝3－x，则g(x)＝exf(x)＝ex·3－x＝x为实数集上的减函数；对于③，f(x)＝x3，则g(x)＝exf(x)＝ex·x3，g′(x)＝ex·x3＋3ex·x2＝ex·x2(x＋3)，当x<－3时，g′(x)<0，当x>－3时，g′(x)>0，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上先减后增；对于④，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋2)，g′(x)＝ex(x2＋2)＋2xex＝ex(x2＋2x＋2)>0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数．∴具有M性质的函数的序号为①④.
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