北京市朝阳区2019届高三数学第二次（5月）综合练习（二模）试题理 12页

北京市朝阳区2019届高三数学第二次（5月）综合练习（二模）试题理（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A.B.C.D.且开始结束输出是否2.复数的虚部为A.B.C.D.3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率进行了估算.根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求的方法绘制的程序框图如图所示.执行该程序框图，输出的值为A.B.C.D.4.在△中，，，,则A.B.C.D.5.已知等差数列的首项为，公差.则“成等比数列”是“”的.充分而不必要条件.必要而不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件n6.已知函数若函数存在零点，则实数的取值范围是A.B.C.D.7.在棱长为1的正方体中，分别为线段和上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A.有最小值B.有最大值C.为定值D.为定值8.在同一平面内,已知为动点,为定点,且,,,为中点.过点作交所在直线于,则在方向上投影的最大值是A.B.C.D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知，，，则，，中最小的是.10.已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离是.11.圆(为参数)上的点到直线(为参数)的距离最小值是.12.已知实数满足能说明“若的最大值为，则”为假命题的一组值是.13.由数字组成没有重复数字的三位数，偶数共有n个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有个.14.如图，在平面直角坐标系中，已知点，.线段上的动点满足；线段上的动点满足.直线与直线交于点，设直线的斜率记为，直线的斜率记为，则的值为_______；当变化时，动点一定在__________（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）当时，求证：.16.（本小题满分13分）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播.比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后，现场专家评分情况如下表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照分组，绘成频率分布直方图如下：0.5a0.278910评分O频率组距专家A[BCDE评分n9.69.59.68.99.7[]（Ⅰ）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（Ⅱ）从5名专家中随机选取3人，表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，表示评分不小于9分的人数；试求与的值；（Ⅲ）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分.方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分.请直接写出与的大小关系.17.（本小题满分14分）在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面.，分别是边，的中点，线段与交于点，且，.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知函数(,且).（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程;（Ⅱ）若函数的极小值为，试求的值.n[Z,X,X,K]19.（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线过点且与椭圆相交于两点.过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过轴上的定点.20.（本小题满分13分）对于由有限个自然数组成的集合,定义集合,记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合.（Ⅰ）若,求;（Ⅱ）若集合有个元素，证明:“”的充要条件是“集合中的所有元素能组成公差不为的等差数列”;[]（Ⅲ）若且，求元素个数最少的集合.n北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学（理）答案2019．5一、选择题：（本题满分40分）题号12345678答案ABCBCDDC二、填空题：（本题满分30分）题号91011121314答案(答案不唯一)双曲线三、解答题：（本题满分80分）15．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）所以的最小正周期.………….6分（II）因为，即,所以在上单调递增.当时，即时，所以当时，.………….13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由图知，某场外观众评分不小于9的概率是.………….3分（Ⅱ）的可能取值为.；.所以的分布列为n所以.由题意可知，，所以.………….10分（Ⅲ）.………….13分17．(本小题满分14分)(I)因为为中点，为中点.所以.又因为平面，平面,所以平面.………….4分(Ⅱ)取的中点，连接.显然，，两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系,[]则，，，，,,.所以，，.又因为，,所以.又因为，所以平面.………….9分（Ⅲ）显然平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，n又，，由得设，则，，则.所以.设二面角的平面角为，由图可知此二面角为锐二面角，所以.………….14分18．(本小题满分13分)解：由题意可知，.（Ⅰ），，所以曲线在点处的切线方程为.………….3分（Ⅱ）①当时，变化时变化情况如下表：↘极小值↗极大值↘此时,解得，故不成立.②当时，在上恒成立，所以在单调递减.此时无极小值，故不成立.③当时，变化时变化情况如下表：n↘极小值↗极大值↘此时极小值，由题意可得，解得或.因为，所以.④当时，变化时变化情况如下表：↘极小值↗此时极小值，由题意可得，解得或，故不成立.综上所述.………….13分19．(本小题满分14分)（Ⅰ）由题意可得解得所以椭圆的方程为.………….4分（Ⅱ）直线恒过轴上的定点.证明如下（1）当直线斜率不存在时，直线的方程为,不妨设，，.此时，直线的方程为：，所以直线过点.（2）当直线的斜率存在时，设，,.n由得.所以.直线，令，得，所以.由于，所以.故直线过点.综上所述，直线恒过轴上的定点.………….14分20．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）若集合,则.….3分（Ⅱ）令.不妨设.充分性：设是公差为的等差数列.则且.所以共有个不同的值.即.必要性：若.n因为，.所以中有个不同的元素：.任意()的值都与上述某一项相等.又，且，.所以，所以是等差数列，且公差不为0.….8分（Ⅲ）首先证明:.假设,中的元素均大于,从而,因此,,故,与矛盾,因此.设的元素个数为,的元素个数至多为,从而的元素个数至多为.若,则元素个数至多为,从而的元素个数至多为,而中元素至少为26,因此.假设有三个元素,设,且,则从而.若,中比大的最小数为,则,与题意矛盾,故.集合中最大数为,由于,故,从而.(i)若且.此时,,则有,在22与28之间可能的数为.此时23,24,25,26不能全在中,不满足题意.(ii)若且.此时,,则有n,若,则或解得或.当时,,不满足题意.当时,满足题意.故元素个数最少的集合为………….13分