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- 2022-04-13 发布
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第73练高考大题突破练—圆锥曲线中的定点、定值问题[基础保分练]1.如图,已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A,M两点,设A(x1,y1),M(x2,y2).(1)若y1y2=-8,求抛物线C的方程;(2)若直线AF与x轴不垂直,直线AF交抛物线C于另一点B,直线BG交抛物线C于另一点N.求证:直线AB与直线MN的斜率之比为定值.2.已知椭圆C:+=1,过C的左焦点不与x轴垂直的直线l与C交于点M,N,点M关于x轴的对称点为M′,证明:直线M′N恒过定点.n3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(,1),过点A(0,1)的动直线l与椭圆C交于M,N两点,当直线l过椭圆C的左焦点时,直线l的斜率为.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在与点A不同的定点B,使得∠ABM=∠ABN恒成立?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.[能力提升练]4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B为椭圆C上任意两点,O为坐标原点,且OA⊥OB.求证:原点O到直线AB的距离为定值,并求出该定值.答案精析1.(1)解 设直线AM的方程为x=my+p,代入y2=2px,得y2-2mpy-2p2=0,n则y1y2=-2p2=-8,得p=2.∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明 设B(x3,y3),N(x4,y4).由(1)可知,y3y4=-2p2,同理可得,y1y3=-p2.又直线AB的斜率kAB==,直线MN的斜率kMN==,∴====2.故直线AB与直线MN的斜率之比为定值.2.证明 椭圆C的左焦点为(-1,0).依题意,设直线MN的方程为x=ty-1(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则M′(x1,-y1)且x1≠x2,y1+y2≠0,联立消去x,并整理得(3t2+4)y2-6ty-9=0,则Δ=(-6t)2-4×(-9)(3t2+4)=144t2+144>0,y1+y2=,y1y2=-,直线M′N的方程为y+y1=(x-x1),令y=0,得x=+x1===-1=-1=-4,n故直线M′N恒过定点(-4,0).3.解 (1)椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(,1),可得+=1,又设左焦点为(-c,0),有=,即c=,a2-b2=2,解得a=2,b=,则椭圆的方程为+=1.(2)当直线l与x轴平行时,有|AM|=|AN|,若使∠ABM=∠ABN,则点B在y轴上不同于A点时均成立.故存在与A不同的定点B使得∠ABM=∠ABN恒成立,点B一定在y轴上,所以设B(0,y0).当直线MN的斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2),代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kx-2=0,∴x1+x2=,x1x2=.若∠ABM=∠ABN,则kBM+kBN=0,即kBM+kBN=+=+=2k+(1-y0)·=2k(2-y0).∵k∈R,∴当y0=2时,∠ABM=∠ABN,∴B(0,2).当直线MN的斜率不存在时,B(0,2)满足∠ABM=∠ABN,∴存在不同于点A的定点B(0,2),使得∠ABM=∠ABN恒成立.4.解 (1)由题意知,e==,=2,又a2=b2+c2,所以a=2,c=,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)①当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=±,此时,原点O到直线AB的距离为.②当OA或OB的斜率不存在时,A,B分别为椭圆的顶点,此时,原点O到直线AB的距离为.③当直线AB,OA,OB的斜率都存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.则Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(1+4k2-m2)>0,nx1+x2=-,x1x2=,则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=,由OA⊥OB,得kOA·kOB=-1,即·=-1,所以x1x2+y1y2==0,即m2=(1+k2),满足Δ>0,所以原点O到直线AB的距离为=.综上,原点O到直线AB的距离为定值.