北京市东城区2019届高三数学下学期综合练习（二模）试题理 12页

北京市东城区2019届高三数学下学期综合练习（二模）试题理本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则(A)(B)(C)(D)（2）执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的的值分别为（A），（B），（C），（D），（3）已知向量与不共线，且，若三点共线，则实数满足的条件为(A)(B)(C)(D)（4）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作.右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：），则此构件的体积为n（A）（B）（C）（D）（5）已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件（6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为(A)84(B)42(C)(D)（7）已知正方体的棱长为，是底面上的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于(A)(B)(C)(D)（8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量（辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数；车流速度（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离；车流密度（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.一般的，和满足一个线性关系：（其中是正数），则以下说法正确的是(A)随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大(B)随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大(C)随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大(D)随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。n（ 9 ）已知复数在复平面内对应的点为，则关于虚轴对称的点位于第象限.（ 10 ）已知，，若，，则满足条件的可以为_____.（ 11）椭圆与曲线关于直线对称，与分别在第一、二、三、四象限交于点若四边形的面积为4，则点的坐标为_______,的离心率为__．（ 12）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则=.（13）设关于的不等式组表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则的取值范围是.（14）已知函数，，对于任意实数，当时，记的最大值为.①若，则；②若则的取值范围是.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）如图，在四边形中，（Ⅰ）求的正弦值；（Ⅱ）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长.（16）（本小题13分）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.n工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A个数91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A个数12241515151215151524从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数.（Ⅰ）求的分布列与数学期望；（Ⅱ）若，且，求最大值；（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）（17）（本小题14分）如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，∥，，，，，，平面与平面交于．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点使得？若存在，求的长；若不存在，说明理由．（18）（本小题13分）已知点到抛物线准线的距离为2.（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；（Ⅱ）设点关于原点的对称点为点，过点作不经过点的直线与交于两点，直线分别交轴于两点.求的值.（19）（本小题14分）n已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．（20）（本小题13分）若行列的数表满足：，，，记这样的一个数表为.对于记集合表示集合中元素的个数.（Ⅰ）已知写出的值；（Ⅱ）是否存在数表满足若存在，求出，若不存在，说明理由；（Ⅲ）对于数表，求证：.[]n北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）2019.5数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A（2）D（3）C（4）C（5）C（6）B（7）A（8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）四（10）（答案不唯一）（11）（12）（13）（14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）在△中，设，由余弦定理得，整理得，解得.所以由正弦定理得，解得............................6分[]（Ⅱ）由已知得，所以，化简得所以于是n因为，且为锐角，所以.因此...............13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可知，X的所有可能取值为，且；；；；.所以的分布列为：X912151824P故的数学期望.............................5分（Ⅱ）当取到最大值时，的只可能为：或或经计算，，，所以的最大值为.............................10分（Ⅲ）至少增加2人............................13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）在四边形中，∥．n因为平面，平面，所以∥平面．因为平面，且平面平面，所以∥．............................4分（Ⅱ）如图，取的中点，连接，.在等腰△中，因为平面平面，交线为，又，所以平面.所以由题意易得如图建立空间直角坐标系，则，，，，．[因为，所以.设平面的法向量为则即令，则．于是．又平面的法向量为，所以．由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.............................9分（Ⅲ）不存在满足条件的点，使，理由如下：若，则．因为点为线段上的动点，设，．n则，解得．所以，．[]所以．整理得，此方程无实根．所以线段上不存在点，使.............................14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）由已知得，所以所以抛物线的方程为，焦点的坐标为............................4分（II）设点,，由已知得，由题意直线斜率存在且不为0.设直线的方程为.由得，则.因为点在抛物线上，所以，，，因为轴，所以[n.所以的值为2.............................13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）因为，所以，，，所以曲线在点处的切线方程为............................5分（Ⅱ）因为，所以，，当时，恒成立，恒成立，所以不等式在区间上恒成立.当时，设，，若，，，所以在区间上恒成立；若，，，，所以在区间上恒成立；所以在区间上单调递增，所以当时，不等式在区间上恒成立；当时，令，，在区间上恒成立，n所以在区间上单调递增，，，所以存在，使得.当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，取得极小值；而，所以，所以不等式在区间上不能恒成立，所以不等式在区间上恒成立时实数的取值范围是..............14分（20）（共13分）解：（Ⅰ）.............................3分（Ⅱ）不存在数表，使得.理由如下：假设存在，使得.不妨设，的可能值为.当时，经验证这样的不存在.当时，有，这说明此方程组至少有两个方程的解相同，不妨设，所以有，n这也说明此方程组至少有两个方程的解相同，这样的只能为或，这两种情况都与矛盾...............8分（Ⅲ）在数表中，将换成，这将形成，由于，可得从而.当时，由于，所以任两行相同位置的1的个数.又由于，而从1到的整数个数，从而..............13分