江苏省盐城市2019届高三数学第四次模拟考试试题 16页

江苏省盐城市2019届高三数学第四次模拟考试试题(满分160分，考试时间120分钟)2019．5参考公式：锥体体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．圆柱侧面积公式：S＝2πrl，其中r为圆柱的底面半径，l为圆柱的母线长．样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝(xi－x)2，其中x＝xi.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知集合A＝{－1，0}，B＝{－1，3}，则A∪B＝________．2.已知复数z＝(其中i为虚数单位)，则|z|＝________．3.双曲线－y2＝1的焦距为____________．4.如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.5.根据如图所示的伪代码，运行后输出的结果为________．6.现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．7.若函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1＋ax)是偶函数，则实数a的值________．8.设A，F分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点和右焦点，B1，B2为椭圆C短轴的两个端点．若点F恰为△AB1B2的重心，则椭圆C的离心率的值为________．(第9题)9.如图，三棱柱ABCA1B1C1的体积为6，O为四边形BCC1B1的中心，则四面体A1B1OB的体积为________．10.已知正项数列{an}满足an＋1＝2＋＋＋…＋，其中n∈N*n，a4＝2，则a2019＝________．11.已知圆O的半径为2，点A，B，C为该圆上的三点，且AB＝2，·>0，则·(＋)的取值范围是________.12.在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且c2＝a2＋b2＋ab，则的取值范围是________．　13.已知函数f(x)＝x＋4sinx．若不等式kx＋b1≤f(x)≤kx＋b2对一切实数x恒成立，则b2－b1的最小值为________.14.已知max{a，b}＝f(x)＝max{lnx－tx－，x2－tx－e}(e自然对数的底数)．若f(x)≥－2在x∈[1，e]上恒成立，则实数t的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABCD中，AE⊥BC于E，M，N分别是AE，AD的中点．(1)求证：MN∥平面BCD；(2)若平面ABC⊥平面ADM，求证：AD⊥BC.16.(本小题满分14分)设向量a＝(2cosx，2sinx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b－.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f()＝－，且α∈(，π)，求cosα的值.n17.(本小题满分14分)如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中AB＝99m,AD＝49.5m．现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(n∈N*)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元；另外，还需在每两个大棚之间留下1m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF＝1m)，这部分的建设造价为每平方米31.4元．(1)当n＝20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积(结果保留π)；(2)试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低？(计算中π取3.14)n18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P(，1)，且点P与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为－.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C上存在两点Q，R，使得△PQR的垂心(三角形三条高的交点)恰为坐标原点O，试求直线QR的方程.n19.(本小题满分16分)设函数f(x)＝x－aex(e为自然对数的底数，a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间(0，1)上具有单调性，求a的取值范围；(3)若函数g(x)＝(ex－e)f(x)有且仅有3个不同的零点x1，x2，x3，且x10(n∈N*)，记{an}前n项中的最大项为kn，最小项为rn，令bn＝.(1)若{an}的前n顶和Sn满足Sn＝.①求bn；②是否存在正整数m，n满足＝？若存在，请求出这样的m，n；若不存在，请说明理由；(2)若数列{bn}是等比数列，求证：数列{an}是等比数列.n2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A.(选修42：矩阵与变换)已知直线l：2x－y－3＝0在矩阵M＝所对应的变换TM下得到直线l′，求直线l′的方程．B.(选修44：坐标系与参数方程)已知点P是曲线C：(θ为参数，π≤θ≤2π)上一点，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，求点P的坐标．C.(选修45：不等式选讲)求不等式4－2|x＋2|≤|x－1|的解集．n【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AC＝AD＝3，PA＝BC＝4.(1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.23.某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n次，记第n次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为an，数列{an}的前n和为Sn.记Sn是3的倍数的概率为P(n)．(1)求P(1)，P(2)；(2)求P(n)．n2019届高三模拟考试试卷(盐城)数学参考答案及评分标准1.{－1，0，3}　2.　3.2　4.6.8　5.37　6.　7.－1　8.　9.1　10.11.(－6，4]　12.(－1，1)　13.8　14.(－∞，2e－]15.证明：(1)连结DE，因为M，N分别是AE，AD的中点，所以MN∥DE.(2分)又MN平面BCD，DE平面BCD，所以MN∥平面BCD.(6分)(2)因为平面ABC⊥平面ADM，平面ABC∩平面ADM＝AE，BC平面BCD，BC⊥AE，所以BC⊥平面ADM.(12分)又AD平面ADM，所以AD⊥BC.(14分)16.解：(1)因为f(x)＝a·b－＝(2cosx，2sinx)·(cosx，cosx)－＝2cos2x＋2sinxcosx－＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋)．(4分)所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.(6分)(2)因为f()＝－，所以2sin(α＋)＝－，即sin(α＋)＝－.(8分)因为α∈(，π)，所以α＋∈(，)，故cos(α＋)＝－＝－＝－，(10分)所以cosα＝cos[(α＋)－]＝cos(α＋)＋sin(α＋)＝×(－)＋×(－)＝－.(14分)17.解：(1)设每个半圆柱型大棚的底面半径为r.当n＝20时，共有19个空地，所以r＝＝2m，(2分)所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)为S＝πr2＋πr×AD＝π×22＋2π×49.5＝103π(m2)．即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103πm2.(6分)(2)设两项费用的和为f(n)．n因为r＝＝，所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)为S＝πr2＋πr×AD＝π×()2＋π×49.5×，(8分)则f(n)＝10nS＋31.4×1×49.5(n－1)＝10n＋31.4×1×49.5(n－1)＝31.4×[＋49.5×＋49.5(n－1)]＝×[＋99(100－n)＋198(n－1)]＝×(＋100n＋9502)＝×[100×(＋n)＋9502]．(12分)所以，当且仅当＝n，即n＝10时，f(n)取得最小值．答：当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低．(14分)18.解：(1)由题意，得(2分)解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(4分)(2)设Q(x1，y1)，R(x2，y2)．因为QR⊥PO，而kPO＝，所以kQR＝－，故可设直线QR的方程为y＝－x＋m.(6分)联立消去y，得5x2－4mx＋2m2－4＝0.由Δ>0得32m2－20(2m2－4)>0，解得m2<10　(*)，且x1＋x2＝，x1x2＝.(8分)又QO⊥PR，所以kQO·kPR＝－1，得·＝－1，即·＝－1，整理，得3x1x2－m(x1＋x2)＋m2－m＝0，(12分)所以3×－m×＋m2－m＝0，即3m2－5m－12＝0，解得m＝3或m＝－均适合(*)式．(14分)当m＝3时，直线QR恰好经过点P，不能构成三角形，不合题意，故舍去．所以直线QR的方程为y＝－x－.(16分)(注：若增解未舍的，扣1分)19.(1)解：当a＝1时，f(x)＝x－ex，f′(x)＝1－ex，f′(1)＝1－e，f(1)＝1－e，故f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y－(1－e)＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－en)x.(2分)(2)解：由f′(x)＝1－aex，①若函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，则f′(x)＝1－aex≥0恒成立，得a≤e－x恒成立．∵x∈(0，1)，∴e－x∈(，1)，∴a≤；(5分)②若函数f(x)在区间(0，1)上单调递减，则f′(x)＝1－aex≤0恒成立，得a≥e－x恒成立．∵x∈(0，1)，∴e－x∈(，1)，∴a≥1.综上，a的取值范围是(－∞，]∪[1，＋∞)．(8分)(3)证明：函数g(x)＝(ex－e)f(x)的零点即为方程(ex－e)f(x)＝0的实数根，故ex－e＝0或f(x)＝0.由ex－e＝0，得x＝1，(9分)∴f(x)＝0有且仅有2个不等于1的不同零点．由f(x)＝0，得－a＝0，设h(x)＝－a，则h′(x)＝.由h′(x)＝>0，得x<1；由h′(x)＝<0，得x>1.故h(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故h(x)＝0有且仅有2个不等实数根，且1个根小于1，1个根大于1.∵g(x)＝(ex－e)f(x)有且仅有3个不同的零点x1，x2，x3，x10在t∈(0，1]上恒成立，∴q(t)＝et－t－1在(0，1]上单调递增，∴q(t)>q(0)＝0在(0，1]上恒成立，则p′(t)>0在(0，1]上恒成立，∴p(t)在(0，1]上单调递增，∴p(t)>p(0)＝0在(0，1]上恒成立，则φ′(t)>0在(0，1]上恒成立，∴φ(t)在(0，1]上单调递增，∴φ(t)≤φ(1)＝，即x1＋x3≤.(16分)n20.(1)解：①在Sn＝中，令n＝1，得a1＝S1＝，解得a1＝1，所以Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n，综上，an＝n(n∈N*)．(2分)显然{an}为单调递增数列，所以kn＝an＝n，rn＝a1＝1，所以bn＝.(4分)②假设存在满足条件的正整数m，n，则＝，所以＝×.设cn＝，则cn＋1－cn＝－＝，所以c1＝c2>c3>c4>c5>….由＝×，得cm＝cnn，则m≥n＋1.(6分)当m＝n＋1时，＝显然不成立，当m>n＋1时，＝＝2m－n－1.设m－n－1＝t，则t∈N*，＝2t，得n＝.(8分)设dn＝，则dn＋1－dn＝－＝<0恒成立，所以数列{dn}单调递减，而d1＝2，d2＝1，d3＝<1，则n≥3时，dn<1恒成立，故方程n＝的解有且仅有t＝1，n＝2或t＝2，n＝1.故满足条件的m，n存在，m＝4，n＝1或n＝2.(10分)(2)证明：因为an>0(n∈N*)，且kn，rn分别为{an}前n项中的最大项和最小项，所以kn＋1≥kn，rn＋1≤rn.设数列{bn}的公比为q，显然q>0，①当q＝1时，＝1，得＝，若kn＋1>kn，则rn＋1kn与rn＋11时，＝q>1，得＝q2>1，所以>≥1，所以kn＋1>kn恒成立．而kn≥an，所以kn＋1＝an＋1，所以an＋1>an恒成立，所以kn＝an，rn＝a1，代入＝q2得＝q2，即＝q2，所以数列{an}是等比数列．(14分)n③当0