高考数学一轮复习阶段滚动检测（六） 16页

阶段滚动检测（六）一、选择题1．已知集合Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}，且PQ，则满足条件的集合P的个数是(　　)A．3B．4C．7D．82．已知复数z满足(1－i)z＝i，则复数在复平面内的对应点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB等于(　　)A．－B.C．－D.4．函数f(x)＝excosx在点(0，f(0))处的切线方程是(　　)A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝05．已知函数f(x)＝x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　)A．1B．2C．3D．46．(2019·广东百校联考)如图，B是AC上一点，分别以AB，BC，AC为直径作半圆，过点B作BD⊥AC，与半圆相交于D.AC＝6，BD＝2，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是(　　)A.B.C.D.7．设双曲线＋＝1的一条渐近线为y＝－2x，且一个焦点与抛物线y＝x2的焦点相同，则此双曲线的方程为(　　)A.x2－5y2＝1B．5y2－x2＝1C．5x2－y2＝1D.y2－5x2＝18．若数列{an}对于任意的正整数n满足：an>0且anan＋1＝n＋1，则称数列{an}为“积增数列”．已知数列{an}为“积增数列”，数列{a＋a}的前n项和为Sn，则对于任意的正整数nn，有(　　)A．Sn≤2n2＋3B．Sn>n2＋4nC．Sn≤n2＋4nD．Sn>n2＋3n9．(2019·化州一模)设ω>0，函数y＝sin－1的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)A.B.C.D．310．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)A．a≤1B．a≥1C．a≤2D．a≥211．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－c)2＋y2＝4a2截得弦长为2b(其中c为双曲线的半焦距)，则该双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D.12．已知函数f(x)＝若关于x的不等式[f(x)]2＋af(x)－b2<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是(　　)A．2B．3C．5D．8二、填空题13．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数解析式为________________．14．二项式6的展开式中，x2项的系数为________．15．已知向量a，b，其中|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥a，则|a－2b|＝________.16．已知定义域为[0，＋∞)的函数f(x)满足f(x)＝2f(x＋2)，当x∈[0,2)时，f(x)＝－2x2＋4x，设f(x)在[2n－2,2n)上的最大值为an(n∈N*)，且数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝________.三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A为锐角，且bsinAcosC＋csinAcosB＝a.(1)求角A的大小；n(2)设函数f(x)＝tanAsinωxcosωx－cos2ωx(ω>0)，其图象上相邻两条对称轴间的距离为，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的值域．18．某重点中学为了了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高(单位：cm)频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表身高(cm)[160,165)[165,170)[170,175)[175,180)[180,185)[185,190]频数25141342表2：女生身高频数分布表身高(cm)[150,155)[155,160)[160,165)[165,170)[170,175)[175,180]频数1712631(1)求该校高一女生的人数；(2)估计该校高一学生身高在[165,180)的概率；(3)以样本频率为概率，现在高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165,180)学生的人数，求X的分布列及均值．n19.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，E，F分别是CC1，BC的中点．(1)求证：平面AB1F⊥平面AEF；(2)求二面角B1－AE－F的余弦值．20．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是公比大于0的等比数列，且b1＝－2a1＝2，a3＋b2＝－1，S3＋2b3＝7.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝求数列{cn}的前n项和Tn.n21.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P(2，)，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F的任一直线(不经过点P)与椭圆交于两点A，B，设与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数f(x)＝xex－a(a∈R)．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若∀x∈(－2,0)，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a>0时，讨论函数f(x)的单调性．n答案精析1．C　2.C　3.B4．C　[函数f(x)＝excosx的导数为f′(x)＝ex(cosx－sinx)，即在点(0，f(0))处的切线斜率为k＝e0(cos0－sin0)＝1，切点坐标为(0,1)，则在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝x－0，即为x－y＋1＝0.故选C.]5．C　[令f(x)＝0，得x＝cosx，分别作出y＝x和y＝cosx的函数图象如图，由图象可知y＝x和y＝cosx在[0,2π]上有3个交点，∴f(x)在[0,2π]上有3个零点．故选C.]6．C　[连接AD，CD，可知△ACD是直角三角形，又BD⊥AC，所以BD2＝AB·BC，设AB＝x(00，a<0，由－＝0得y2＝x2.则双曲线的渐近线方程为y＝±x，∵双曲线的一条渐近线为y＝－2x，∴＝2，即＝4，则b＝－4a，∵b＋(－a)＝c2＝1，∴－5a＝1，则a＝－，b＝，则双曲线的方程为－＝1，即y2－5x2＝1，故选D.]8．D　[由题意知an>0，an≠an＋1，∴a＋a>2anan＋1.∵anan＋1＝n＋1，∴{anan＋1}的前n项和为2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝＝，∴数列{a＋a}的前n项和Sn>2×＝(n＋3)n＝n2＋3n.]9．D　[∵图象向左平移个单位长度后与原图象重合，∴是一个周期，∴＝T≤，∴ω≥3，n∴ω的最小值是3.]10．A　[当x1∈时，由f(x)＝x＋得，f′(x)＝，令f′(x)>0，解得x>2或x<－2，令f′(x)<0，解得－20，b>0)的一条渐近线方程为bx＋ay＝0，圆(x－c)2＋y2＝4a2的圆心到双曲线的渐近线的距离为＝b，∵渐近线被圆(x－c)2＋y2＝4a2截得的弦长为2b，∴b2＋b2＝4a2，∴b2＝2a2，即c2＝3a2，∴e＝.故选B.]12．D　[函数f(x)＝的图象如图所示，①当b＝0时，[f(x)]2＋af(x)－b2<0化为[f(x)]2＋af(x)<0，当a>0时，－a3，a≤0不必考虑．②当b≠0时，对于[f(x)]2＋af(x)－b2<0，Δ＝a2＋4b2>0，解得0，则<0<，由于f(x)＝0时，不等式的解集中含有多个整数解(例如：0,2)，舍去．综上可得，a的最大值为8.故选D.]13．y＝2sin解析　函数y＝2sin的周期为＝π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期，即平移个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin.14．60解析　根据二项式定理，6的通项为Tr＋1＝C·x6－r·r＝(－1)rC·2r·x6－2r，当6－2r＝2，即r＝2时，可得T3＝60x2，即x2项的系数为60.15．2解析　向量a，b中，|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－4，∴(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝4－4×(－4)＋4×1＝24，n∴|a－2b|＝2.16．4－解析　当x∈[0,2)时，函数f(x)图象的对称轴为x＝1，开口向下，故最大值为f(1)＝2.由于f(x＋2)＝f(x)，即从[2,4)起，每隔两个单位长度图象的“高度”就是前一个区间图象“高度”的一半，故最大值即{an}是首项为2，公比为的等比数列，其前n项和Sn＝＝4－.17．解　(1)∵bsinAcosC＋csinAcosB＝a，∴由正弦定理可得sinBsinAcosC＋sinCsinAcosB＝sinA，∵A为锐角，sinA≠0，∴sinBcosC＋sinCcosB＝，可得sin(B＋C)＝sinA＝，∴A＝.(2)∵A＝，可得tanA＝，∴f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＝sin，∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为，可得T＝2×＝，解得ω＝1，∴f(x)＝sin，n∴将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到图象对应的函数解析式为y＝g(x)＝sin＝sin，∵x∈，可得2x＋∈，∴g(x)＝sin∈.18．解　(1)设高一女学生人数为x，由表1和表2可得样本中男女生人数分别为40,30，则＝，解得x＝300.因此高一女生人数为300.(2)由表1和2可得样本中男女生身高在[165,180)的人数为：5＋14＋13＋6＋3＋1＝42.图为样本容量为70.所以样本中该校高一学生身高在[165,180)的频率为＝.所以估计该校高一学生身高在[165,180)的概率为.(3)由题意可得，X的可能取值为0,1,2.由表格可知：女生身高在[165,180)的概率为.男生身高在[165,180)的概率为.∴P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝.∴X的分布列为X012P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.n19．(1)证明　∵F是等腰直角△ABC斜边BC的中点，∴AF⊥BC.又∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱．∴平面ABC⊥平面BB1C1C，又平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AF⊂平面ABC，∴AF⊥平面BB1C1C，又B1F⊂平面BB1C1C.∴AF⊥B1F.设AB＝AA1＝1，则B1F＝，EF＝，B1E＝，∴B1F2＋EF2＝B1E2，∴B1F⊥EF.又AF∩EF＝F，AF，EF⊂平面AEF，∴B1F⊥平面AEF.而B1F⊂平面AB1F，故平面AB1F⊥平面AEF.(2)解　以F为坐标原点，FA，FB所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系如图，设AB＝AA1＝1，则F(0,0,0)，A，B1，E，＝，＝.由(1)知，B1F⊥平面AEF，取平面AEF的法向量，m＝＝.设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z)，由取x＝3，得n＝(3，－1,2)．设二面角B1－AE－F的大小为θ，由图可知θ为锐角，n则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝＝.∴所求二面角B1－AE－F的余弦值为.20．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，又b1＝－2a1＝2，a3＋b2＝－1，S3＋2b3＝7.∴a1＝－1，－1＋2d＋2q＝－1,3×(－1)＋3d＋2×2q2＝7，解得d＝－2，q＝2.∴an＝－1－2(n－1)＝1－2n，bn＝2n.(2)cn＝①当n＝2k(k∈N*)时，Tn＝T2k＝(c1＋c3＋…＋c2k－1)＋(c2＋c4＋…＋c2k)＝2k＋，令Ak＝＋＋…＋，则Ak＝＋＋…＋＋，∴两式相减得Ak＝＋4－＝＋4×－，可得Ak＝－，∴Tn＝T2k＝2k＋－.②n＝2k－1(k∈N*)时，Tn＝T2k－2＋c2k－1＝2(k－1)＋－＋2＝2k＋－，n∴Tn＝k∈N*.21．解　(1)由点P(2，)在椭圆上，得＋＝1，①又e＝，所以＝.②由①②得c2＝4，a2＝8，b2＝4，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3.由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－2)．③代入椭圆方程＋＝1，并整理得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝，x1x2＝.④在方程③中，令x＝4得，M(4,2k)，从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.又因为A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，即有＝＝k，所以k1＋k2＝＋＝＋－＝2k－·.⑤将④代入⑤得k1＋k2＝2k－·＝2k－，n又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.故存在常数λ＝2符合题意．22．解　(1)当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)ex，∴切线的斜率k＝f′(1)＝2e，又f(1)＝e，∴y＝f(x)在点(1，e)处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即2ex－y－e＝0.(2)∵对∀x∈(－2,0)，f(x)≤0恒成立，∴a≤在(－2,0)上恒成立，令g(x)＝(－20，∴g(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，∴g(x)min＝g(－1)＝＝，故实数a的取值范围为.(3)f′(x)＝(x＋1)(ex－a)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝lna，①当a＝时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在R上单调递增；②当00，得x－1；由f′(x)<0，得lna时，lna>－1，由f′(x)>0，得x<－1或x>lna；由f′(x)<0，得－1时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(lna，＋∞)，单调递减区间为(－1，lna)．