高考数学复习立体几何与空间向量第56练立体几何中的易错题练习 6页

第56练立体几何中的易错题1．已知直线a，b，m，其中a，b在平面α内．则“m⊥a，m⊥b”是“m⊥α”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β3．(2019·湛江调研)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)A．α∩β＝n，m⊂α，m∥β⇒m∥nB．α⊥β，α∩β＝m，m⊥n⇒n⊥βC．m⊥n，m⊂α，n⊂β⇒α⊥βD．m∥α，n⊂α⇒m∥n4．若点P∈平面α，点Q∈平面α，点R∈平面β，α∩β＝m，且R∉m，PQ∩m＝M，过P，Q，R三点确定一个平面γ，则β∩γ是(　　)A．直线QRB．直线PRC．直线RMD．以上均不正确5．(2019·唐山模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.6．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则(　　)A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面7．在三棱锥S—ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D为BC的中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D．以上结论都不对n8．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)A.B.C.D.9.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为a的正方形，若在侧棱AA1上至少存在一点E，使得∠C1EB＝90°，则侧棱AA1的长的最小值为(　　)A．aB．2aC．3aD．4a10．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)A．2πB．6πC．4πD．24π11．已知一所有棱长都是的三棱锥，则该三棱锥的体积为________．12．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1－ABM的体积为________．　　　第12题图　　　　　　第13题图13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.14.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________．①MB是定值；②点M在圆上运动；n③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.15．在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．16.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是________．答案精析1．B　2.B　3.A　4.C　5.B　6.B7．B　[如图，取AC的中点E，连接DE，SE，因为D，E分别为BC，AC的中点，所以DE∥AB，所以∠SDE就是异面直线AB与SD所成的角，令AB＝AC＝SA＝2，由勾股定理得SE＝，又DE＝1，很明显BA⊥平面SAC，所以DE⊥平面SAC，所以DE⊥SE，所以SD＝.在Rt△SDE中，cos∠SDE＝＝＝.故选B.]8．A　[设E为△ABC的重心，连接OA，OB，OE.n∵三棱锥S－ABC内接于球O，∴OB＝OC＝OA＝1.又△ABC为等边三角形，∴OE⊥平面ABC，∴三棱锥的高h＝2OE.∵AB＝AC＝BC＝1，E为△ABC的重心，连接CE，∴CE＝，∴OE＝＝，∴h＝，∴VS－ABC＝S△ABC·h＝××1××＝.]9．B　[设AA1＝h，AE＝x，A1E＝h－x，x∈[0，h]，则BE2＝a2＋x2，C1E2＝(a)2＋(h－x)2，BC＝a2＋h2.又∠C1EB＝90°，所以BE2＋C1E2＝BC，即a2＋x2＋(a)2＋(h－x)2＝a2＋h2，即关于x的方程x2－hx＋a2＝0，x∈[0，h]有解，当x＝0时，a2＝0，不合题意，当x>0时，h＝＋x≥2a，当且仅当x＝a时取等号．即侧棱AA1的最小值为2a.]10．B　[设两两垂直的三条侧棱分别为a，b，c，可以得到ab＝，bc＝，ac＝，解得a＝，b＝1，c＝.所以2R＝＝，n所以球的表面积为S＝4πR2＝6π.]11.　12.13.解析　如图，∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥PQ.又∵B1D1∥BD，∴BD∥PQ.设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ，∴＝＝2，即PQ＝2PM.又△APM∽△ADB，∴＝＝.∴PM＝BD，PQ＝BD，又BD＝a，∴PQ＝a.14．①②④解析　取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，所以平面MNB∥平面A1DE，因为MB⊂平面MNB，所以MB∥平面A1DE，④正确；∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值，①正确；B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，②正确；当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，③不正确．所以①②④正确．15．8n解析　过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.16.解析　取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上，把△A1MN置于平面上，则有A1M＝A1N＝＝，MN＝＝，所以当点P位于M，N时，A1P最大，当P位于线段MN的中点O时，A1P最小，此时A1O＝＝，所以A1O≤A1P≤A1M，即≤A1P≤，所以线段A1P长度的取值范围是.