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- 2022-04-13 发布
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第21练利用导数研究函数零点问题[基础保分练]1．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是( )A．(－∞，2ln2)B．(－∞，－1]C．(2ln2，＋∞)D．(－∞，2ln2－2]2．已知a<0，且x0是函数g(x)＝2ax＋b的零点，则对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c，下列说法正确的是( )A．∃x∈R，f(x)>f(x0)B．∀x∈R，f(x)>f(x0)C．∃x∈R，f(x)0)，则y＝f(x)( )A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点4．已知函数f(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x恰有两个零点，则实数a的取值范围是( )A．(－1，＋∞)B．(－1,0)C．(－2,0)D．(－2，－1)5．已知当x∈(1，＋∞)时，关于x的方程＝－1有唯一实数解，则距离k最近的整数为( )A．2B．3C．4D．56．(2018·安阳模拟)已知函数f(x)＝＋与g(x)＝6x＋a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是( )A.B.C.D.7．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是( )nA.B.C．(0,4e2)D．(0，＋∞)8．(2019·宁夏银川一中月考)已知函数y＝a＋2lnx，x∈的图象上存在点P，函数y＝－x2－2的图象上存在点Q，且点P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围为( )A．[e2，＋∞)B.C.D．[3，e2]9．已知函数f(x)＝若对任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)＝kx0成立，则实数a的取值集合为________．10．若关于x的方程1－k(x－2e)·lnx＝0在(1，＋∞)上有两个不同的解，其中e为自然对数的底数，则实数k的取值范围是________．[能力提升练]1．已知f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导数，满足f′(x)＝f(x)，且f(0)＝2，设函数g(x)＝f(x)－lnf3(x)的一个零点为x0，则以下正确的是( )A．x0∈(0,1)B．x0∈(1,2)C．x0∈(2,3)D．x0∈(3,4)2．(2018·湖南师大附中模拟)若函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点，则实数a的取值范围是( )A.B.C．(－∞，0)D．(0，＋∞)3．已知函数f(x)＝(2x2－x－1)ex，则方程[ef(x)]2＋tf(x)－9＝0(t∈R)的根的个数为( )A．3B．2C．5D．44．已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x有两个零点，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1)B．(0,1)C.D.5．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2，若y＝f(cosx)在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．6．若函数f(x)＝－lnx＋ax2＋bx－a－2b有两个极值点x1，x2，其中－0，且f(x2)＝x2>x1，则方程2a[f(x)]2＋bf(x)－1＝0的实根个数为________．n答案精析基础保分练1．D 2.C 3.D4．B [由alnx＋x2－(a＋2)x＝0得a＝，令g(x)＝，则g′(x)＝，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－1，又当x∈(0,1)时，x2－2x<0，g(x)＝<0，所以实数a的取值范围是(－1,0)，故选B.]5．B [由＝－1可得k＝(x>1)，令g(x)＝(x>1)，则g′(x)＝，令h(x)＝x－lnx－2，则h′(x)＝1－，由x∈(1，＋∞)可得h′(x)>0，函数h(x)单调递增．因为h(3)＝1－ln3<0，h(4)＝2－ln4>0，h(3.5)＝1.5－ln3.5>0，则存在x0∈(3,3.5)满足h(x0)＝0，所以g(x0)是函数g(x)的最小值．若满足唯一实数解，则k＝g(x0)．由h(x0)＝0得lnx0＝x0－2，则g(x0)＝＝x0，所以k＝x0∈(3,3.5)．据此可得距离kn最近的整数为3，故选B.]6．B [原问题等价于函数h(x)＝＋－6x与函数y＝a的图象有3个不同的交点，由h′(x)＝x2＋x－6＝(x－2)(x＋3)，得x＝2或x＝－3，当x∈(－∞，－3)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(－3,2)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．且h(－3)＝，h(2)＝－，数形结合可得a的取值范围是.]7．B [函数y＝x2ex－a的导数为y′＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)，令y′＝0，则x＝0或－2，当－20，函数在两个区间上单调递增，∴函数f(x)在x＝－2处取极大值f(－2)＝4e－2－a，在x＝0处取极小值f(0)＝－a，已知函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，故－a<0，且4e－2－a>0，解得实数a的取值范围是，故选B.]8．D [函数y＝－x2－2的图象与函数y＝x2＋2的图象关于原点对称，若函数y＝a＋2lnx，x∈的图象上存在点P，函数y＝－x2－2的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则函数y＝a＋2lnx，x∈的图象与函数y＝x2＋2的图象有交点，即方程a＋2lnx＝x2＋2，x∈有解，即a＝x2＋2－2lnx，x∈有解，令f(x)＝x2＋2－2lnx，n则f′(x)＝，当x∈时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(1，e]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故当x＝1时，f(x)取最小值3，由f＝＋4，f(e)＝e2，故当x＝e时，f(x)取最大值e2，故a∈[3，e2]．]9．{}解析 令h(x)＝lnx－(x>0)，h′(x)＝－，所以函数h(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，又h()＝0，所以lnx≤，当且仅当x＝时等号成立，因为对任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)＝kx0成立，且过原点的直线与y＝lnx切于点(e,1)，所以函数f(x)的图象是不间断的，故a＝.所以实数a的取值集合为{}．10.解析 若方程存在两个不同解，则k≠0，∴＝(x－2e)lnx，x>1，设g(x)＝(x－2e)lnx，则g′(x)＝lnx－＋1在(1，＋∞)上单调递增，且g′(e)＝0，∴g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，n∴g(x)min＝g(e)＝－e，∵g(1)＝g(2e)＝0，∴g(x)<0在(1,2e)上恒成立，∴若方程存在两个不同解，则∈(－e,0)，即k∈.能力提升练1．A [设f(x)＝kex，则f(x)满足f′(x)＝f(x)，∵f(0)＝2，∴k＝2，则f(x)＝2ex，g(x)＝2ex－3x－3ln2，g(0)＝2－3ln2<0，g(1)＝2e－3－3ln2>0，即在(0,1)上存在零点，故选A.]2．D [函数f(x)＝aex－x－2a的导函数f′(x)＝aex－1.当a≤0时，f′(x)≤0恒成立，函数f(x)在R上单调递减，不可能有两个零点；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的最小值为f＝1－ln－2a＝1＋lna－2a.令g(a)＝1＋lna－2a(a>0)，g′(a)＝－2.当a∈时，g(a)单调递增；当a∈时，g(a)单调递减，∴g(a)max＝g＝－ln2<0，∴f(x)的最小值为f<0，函数f(x)＝aex－x－2a有两个零点．综上所述，实数a的取值范围是(0，＋∞)，故选D.]3．A [∵f′(x)＝(2x－1)(x＋2)ex，n且f(－2)＝，f＝－，f(x)的大致图象如图．令m＝f(x)，设方程[ef(x)]2＋tf(x)－9＝0的两根为m1，m2，则m1m2＝－＝f(－2)f，若m1＝，m2＝－，有三根；若0有一根，此时－0)有两个根，所以a＝＋，令h(x)＝＋(x>0)，则h′(x)＝－＝，令h′(x)＝0，可得x＝1，当00，h(x)为单调递增函数，当x>1时，h′(x)<0，h(x)为单调递减函数，当x→＋∞时，h(x)→0且h(x)>0，所以当x＝1时函数取得最大值，h(x)max＝h(1)＝1，函数h(x)的图象大致如图，因为与y＝a有两个交点，所以a的取值范围是(0,1)．]n5.解析 函数f(x)＝(x－1)ex－ax2，可得f′(x)＝x(ex－2a)，令x(ex－2a)＝0可得，x＝0或ex＝2a.当a≤0时，函数只有一个零点，并且x＝0是函数的一个极小值点，并且f(0)＝－1<0，若y＝f(cosx)在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，也就是y＝f(x)在x∈[－1,1]上有且仅有两个不同的零点，可得即可得a≤－.当a>0时，函数两个极值点为x＝0，x＝ln(2a)，如果ln(2a)<0，因为f(ln(2a))<0，可知不满足题意；如果ln(2a)>0，因为f(0)＝－1<0，可知f(x)只有一个零点，不满足题意．综上a≤－.6．5解析 ∵函数f(x)＝－lnx＋ax2＋bx－a－2b有两个极值点x1，x2，∴f′(x)＝－＋2ax＋b＝，即2ax2＋bx－1＝0有两个不相等的正根，∴Δ1＝b2＋8a>0，解得x＝.∵x10，∴x1＝，x2＝.而方程2a[f(x)]2＋bf(x)－1＝0的Δ＝Δ1>0，∴此方程有两解且f(x)＝x1或x2，即有00又x1x2＝－>1，∴x2>1，∵f(1)＝－b<0，∴f(x1)<0，f(x2)>0.根据f′(x)画出f(x)的简图，∵f(x2)＝x2，由图象可知方程f(x)＝x2有两解，方程f(x)＝x1有三解．∴方程f(x)＝x1或f(x)＝x2共有5个实数解．即关于x的方程2a[f(x)]2＋bf(x)－1＝0共有5个不同实根．
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