高考数学复习平面解析几何第65练椭圆的定义与标准方程练习 5页

第65练椭圆的定义与标准方程[基础保分练]1．动点A到定点F1(0，－2)和F2(0,2)的距离的和为4，则动点A的轨迹为(　　)A．椭圆B．线段C．不存在D．两条射线2．(2018·长沙模拟)椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为(　　)A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝13．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)A．1B.C．2D．24．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋＝1D.＋＝1或＋＝15．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2，则△PF1F2是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)A．圆B．椭圆C．线段D．直线7．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为(　　)nA.B.C.D.8．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)A．9,12B．8,11C．8,12D．10,129．中心在原点的椭圆C的一个顶点是圆E：x2＋y2－4x＋3＝0的圆心，一个焦点是圆E与x轴其中的一个交点，则椭圆C的标准方程为________________．10．(2018·广东五校协作体考试)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．[能力提升练]1．已知椭圆＋＝1的上焦点为F，直线x＋y＋1＝0和x＋y－1＝0与椭圆相交于点A，B，C，D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|等于(　　)A．2B．4C．4D．82．若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)A．7B.C.D.3．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝14．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则||·||的取值范围是(　　)A．(0,4]B．(0,3]C．[3,4)D．[3,4]5．设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为________．n6．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为______________________．答案精析基础保分练1．B　2.C　3.D　4.B　5.B　6.B　7.B　8.C　9.＋＝1　10.[2,2)能力提升练1．D　[设椭圆的下焦点为F1，连接CF1，DF1，因为＋＝1，所以c＝1.所以F(0,1)，F1(0，－1)，由题意知，直线x＋y－1＝0过点F，直线x＋y＋1＝0过点F1，由椭圆的对称性知，四边形CFBF1为平行四边形，AFDF1为平行四边形，所以|AF|＝|DF1|，|BF1|＝|CF|.所以|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|DF1|＋|BF|＋|BF1|＋|DF|＝4a＝8.]2．C　[由题意得a＝3，b＝，c＝，∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，n∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.解得|AF1|＝.∴△AF1F2的面积S＝××2×＝.]3．D　[因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1，消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，c2＝9，所以b2＝9，a2＝18，即椭圆E的方程为＋＝1.]4．D　[由椭圆定义，知||＋||＝4，且椭圆＋＝1的长轴长为4，焦距为2，所以1≤||≤3.令||＝t，则||＝4－t.令f(t)＝||·||＝t(4－t)＝－t2＋4t，t∈[1,3]，由二次函数的性质可知，函数f(t)在t＝2处取得最大值，即f(t)max＝f(2)＝－22＋4×2＝4，函数f(t)在t＝1或t＝3处取得最小值，由于f(1)＝f(3)＝3，故f(t)min＝3，即||·||的取值范围是[3,4]，故选D.]5.n解析　由已知a＝2，b＝，c＝1，则当点P为短轴顶点(0，)时，∠F1PF2＝，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|＝＝，＝··2c＝＝.6.＋＝1解析　由题意可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A，当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x＝1，易知另一切点为B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2，令y＝0得右焦点为(1,0)，即c＝1.令x＝0得上顶点为(0,2)，即b＝2，所以a2＝b2＋c2＝5，故所求椭圆的方程为＋＝1.