（江苏专版）2020版高考物理第八章第3节带电粒子在组合场中的运动讲义（含解析） 18页

带电粒子在组合场中的运动突破点(一)　质谱仪与回旋加速器1．质谱仪(1)构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。(2)原理：粒子由静止被加速电场加速，qU＝mv2。粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m。由以上两式可得r＝，m＝，＝。2．回旋加速器(1)构造：如图所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源，D形盒处于匀强磁场中。(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关。[典例]　(2019·盐城中学检测)如图所示，离子从容器A下方的狭缝S1飘入(初速度为零)电压为U的加速电场区，加速后通过狭缝S2后再从狭缝S3垂直于磁场边界射入偏转磁场，该偏转磁场是一个以直线MN为上边界、方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，离子经偏转磁场后最终到达照相底片D上。不考虑离子间的相互作用。(1)若离子的电荷量为q，它最终打在照相底片D上的位置到狭缝S3的距离为d，求粒子的质量m；(2)若容器A中有大量如(1)中所述的离子，它们经过电场加速后由狭缝S3垂直进入磁场时，可认为速度大小相等，但速度方向并不都严格垂直于边界，其中偏离垂直于MN方向的最大偏角为θ，则照相底片D上得到的谱线的宽度Δx为多少？(3)若容器A中有电荷量相等的铜63和铜65两种离子，它们经电场加速后垂直于MNn进入磁场中会发生分离，但实际工作时加速电压的大小会在U±ΔU范围内微小变化，为使这两种离子打在照相底片上的区域不发生重叠，应小于多少？(结果用百分数表示，保留两位有效数字)。[解析]　(1)离子在电场中加速，有qU＝mv2，进入磁场后，做匀速圆周运动，有qvB＝m，联立解得m＝。(2)设垂直于MN方向的离子打到照相底片上的P位置，离狭缝S3最远，S3P＝d，与垂直于MN方向夹角为θ的离子，打到照相底片上的位置离狭缝S3最近，如图：由于各离子速度大小相等，因而在磁场中运动的半径相同，S3Q＝2Rcosθ＝dcosθ，Δx＝S3P－S3Q＝d－dcosθ＝d(1－cosθ)。(3)设加速电压为U，对于质量为m，电荷量为q的离子有：qU＝mv2，qvB＝m，解得R＝；可见对于质量不同，电荷量相同的不同离子，加速电压相同时，质量越大，其圆周运动的半径越大，对同种离子，加速电压越大，其圆周运动的半径也越大。设铜63的质量为m1，加速电压为U＋ΔU时的半径为R1，铜65的质量为m2，加速电压为U－ΔU时的半径为R2，R1＝，R2＝要使得两种离子打到照相底片上的位置不重叠，则有R10，k为常数)、沿＋x轴方向射入磁场，离子都能打到荧光屏上，问k应满足什么条件？满足条件的所有离子中，在磁场中运动时间的最大值为多大？[解析]　(1)设离子垂直打到荧光屏上的M点时，沿y轴负方向的分速度大小为vy，在电场中运动的加速度为a，则：tan60°＝Eq＝ma　vy＝at解得t＝。(2)设离子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系可知rsin60°＝v0t则r＝由向心力公式得Bqv0＝m代入得B＝。(3)临界状态：离子恰好能打到荧光屏上，即轨迹与ON相切，设此时圆周运动半径为r0，n由几何关系可知r0＋＝y由向心力公式得Bqv＝m，其中v＝ky解得k＝为使离子能打到荧光屏上应满足r≥r0则k≥上述临界状态下，离子在磁场中运动时间有最大值tm＝T且T＝＝代入得tm＝。[答案]　(1)　(2)　(3)k≥　先磁场后电场对于粒子从磁场进入电场的运动，常见的有两种情况：(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反；(2)进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直。(如图甲、乙所示)[例2]　(2019·徐州模拟)在xOy平面内，x轴上方存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，x轴下方存在电场强度为E、方向沿y轴正方向的匀强电场。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计粒子的重力)从坐标原点以速度v沿y轴正方向射入磁场区域。求：(1)粒子在磁场中运动的轨道半径；n(2)写出粒子从出发开始计时，到第一次打到x轴前，粒子的位移随着时间变化的表达式；(3)粒子从出发到第n次到达x轴的平均速度的大小。[解析]　(1)根据洛伦兹力提供向心力，粒子在磁场中偏转有qvB＝m得R＝。(2)由T＝，t＝T，得t＝，则θ＝由图中几何关系可知：s＝2Rsin粒子的位移随着时间变化的表达式：s＝sin，其中t<。(3)粒子在磁场中的运动周期T＝在电场中往返一次运动时间：t1＝＝设第n次到x轴n为奇数时：第n次到x轴的位移为x＝·2R＝，时间为t＝·＋·t1＝＋平均速度为＝＝n为偶数时：第n次到x轴的位移为x＝·2R＝，时间为t＝·＋·t1＝＋平均速度为＝＝。n[答案]　(1)　(2)s＝sin，t<(3)n为奇数时：＝；n为偶数时：＝先后多个电、磁场[例3]　(2018·南京三模)如图所示，平面直角坐标系x轴水平向右，y轴竖直向上，虚线MN与y轴平行，y轴左侧有竖直向下的匀强电场，场强E1＝6N/C，y轴与MN之间有平行于y轴的匀强电场E2，y轴右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。一带正电小球(m＝1×10－3kg，q＝5×10－3C)从图中与y轴距离为x0＝0.3m的P点，以v0＝3m/s的初速度沿x轴正向开始运动，经坐标原点O越过y轴，在y轴与MN之间恰好做匀速圆周运动，再经C点越过MN，越过时速度方向与x轴正方向一致。线段CD平行于x轴，小球能通过D点，取g＝10m/s2。求：(1)经过O点时的速度；(2)匀强电场的场强E2以及C点的坐标；(3)线段CD的长度。[解析]　(1)小球在PO段做类平抛运动t＝＝0.1say＝＝40m/s2vy＝ayt1＝4m/sv＝＝5m/stanθ＝＝与x轴正方向夹角θ＝53°斜向下。(2)小球在y轴与MN之间做匀速圆周运动，重力与电场力平衡mg＝qE2E2＝＝2N/C，方向向上洛伦兹力提供小球做圆周运动的向心力qvB＝mnR＝＝1mx＝Rsinθ＝0.8my＝R－Rcosθ＝0.4mC点坐标为(0.8m，－0.4m)。(3)在MN右侧，由qv1B＝mg，得v1＝＝2m/sv2＝v－v1＝3m/s小球在C点的速度大小是v＝5m/s，可看成是v1＝2m/s和v2＝3m/s两个速度的合成，在磁场中小球的运动轨迹由匀速直线运动与匀速圆周运动同步合成周期为T＝＝0.4πs所以LCD＝v2·nT＝1.2nπm，n＝1,2,3，…。[答案]　(1)5m/s，与x轴正方向夹角为53°斜向下(2)2N/C，方向向上　(0.8m，－0.4m)　(3)1.2nπm，n＝1,2,3，…突破点(三)　带电粒子在交变电、磁场中的运动解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路先读图看清、并明白场的变化情况受力分析分析粒子在不同的变化场区的受力情况过程分析分析粒子在不同时间内的运动情况找衔接点找出衔接相邻两过程的物理量选规律联立不同阶段的方程求解[多维探究]交变磁场[例1]　如图甲所示，间距为d、垂直于纸面的两平行板P、Q间存在匀强磁场。取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。t＝0时刻，一质量为m、带电荷量为＋q的粒子(不计重力)以初速度v0由板Q左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。当B0和TB取某些特定值时，可使t＝0时刻入射的粒子经时间Δt恰能垂直打在板P上(不考虑粒子反弹)。上述m、q、d、v0为已知量。n(1)若Δt＝TB，求B0；(2)为使t＝0时刻入射的粒子垂直打在P板上，求粒子在0～时间内速度的偏转角α应满足的条件；(3)若B0＝，为使粒子仍能垂直打在P板上，求TB。[解析]　(1)设粒子做匀速圆周运动的半径为R1，由牛顿第二定律得：qv0B0＝m根据题意由几何关系得到：R1＝d联立可以得到：B0＝。(2)由题意可知，粒子若垂直打到P板上，速度偏转角α必须满足α≥90°若速度偏转角过大，就会从左边界射出，速度偏转角最大如图所示：此时sinβ＝＝，β＝30°，α＝150°综上可得：90°≤α≤150°。(3)设粒子做圆周运动的半径为R，周期为T，根据圆周运动公式得到：T＝由牛顿第二定律得到：qv0B0＝m将B0代入上式可得：d＝5R粒子运动轨迹如图所示：O1、O2为圆心，O1、O2连线与水平方向夹角为θ，在每个TB内，只有A、B两个位置才有可能垂直击中P板，由题意可知：T＝若在A点击中P板，根据题意由几何关系得到：R＋2(R＋Rsinθ)n＝d，且要求：0≤θ≤当n＝0、n＝1时，无解。当n＝2时，sinθ＝0，此时TB＝，当n≥3时无解；n若在B点击中P板，根据题意由几何关系得到：R＋2Rsinθ＋2(R＋Rsinθ)n＝d且要求：0<θ≤当n＝0时无解当n＝1时，sinθ＝此时TB＝当n≥2时，无解。[答案]　(1)　(2)90°≤α≤150°　(3)或交变电场＋恒定磁场[例2]　(2018·宿迁模拟)如图甲所示，带正电粒子以水平速度v0从平行金属板MN间中线OO′连续射入电场中。MN板间接有如图乙所示的随时间t变化的电压UMN，两板间电场可看作是均匀的，且两板外无电场。紧邻金属板右侧有垂直纸面向里的匀强磁场B，分界线为CD，EF为屏幕。金属板间距为d，长度为l，磁场的宽度为d。已知：B＝5×10－3T，l＝d＝0.2m，每个带正电粒子的速度v0＝105m/s，比荷为＝108C/kg，重力忽略不计，在每个粒子通过电场区域的极短时间内，电场可视作是恒定不变的。试求：(1)带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径；(2)带电粒子射出电场时的最大速度；(3)带电粒子打在屏幕上的范围。[审题指导]第一步：抓关键点关键点获取信息电场可视作是恒定不变的电场是匀强电场，带电粒子做类平抛运动最小半径当加速电压为零时，带电粒子进入磁场时的速率最小，半径最小n最大速度由动能定理可知，当加速电压最大时，粒子的速度最大，但应注意粒子能否从极板中飞出第二步：找突破口(1)要求圆周运动的最小半径，由带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式可知，应先求最小速度，后列方程求解。(2)要求粒子射出电场时的最大速度，应先根据平抛运动规律求出带电粒子能从极板间飞出所应加的板间电压的范围，后结合动能定理列方程求解。(3)要求粒子打在屏幕上的范围，应先综合分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹，后结合几何知识列方程求解。[解析]　(1)t＝0时刻射入电场的带电粒子不被加速，进入磁场做圆周运动的半径最小。粒子在磁场中运动时qv0B＝则带电粒子进入磁场做圆周运动的最小半径rmin＝＝m＝0.2m其运动的径迹如图中曲线Ⅰ所示。(2)设两板间电压为U1，带电粒子刚好从极板边缘射出电场，则有＝at2＝·2代入数据，解得U1＝100V在电压低于100V时，带电粒子才能从两板间射出电场，电压高于100V时，带电粒子打在极板上，不能从两板间射出。带电粒子刚好从极板边缘射出电场时，速度最大，设最大速度为vmax，则有mvmax2＝mv02＋q·解得vmax＝×105m/s＝1.414×105m/s。(3)由第(1)问计算可知，t＝0时刻射入电场的粒子在磁场中做圆周运动的半径rmin＝d＝0.2m径迹恰与屏幕相切，设切点为E，E为带电粒子打在屏幕上的最高点，则＝rmin＝0.2mn带电粒子射出电场时的速度最大时，在磁场中做圆周运动的半径最大，打在屏幕上的位置最低。设带电粒子以最大速度射出电场进入磁场中做圆周运动的半径为rmax，打在屏幕上的位置为F，运动径迹如图中曲线Ⅱ所示。qvmaxB＝则带电粒子进入磁场做圆周运动的最大半径rmax＝＝m＝m由数学知识可得运动径迹的圆心必落在屏幕上，如图中Q点所示，并且Q点必与M板在同一水平线上。则＝＝m＝0.1m带电粒子打在屏幕上的最低点为F，则＝rmax－＝(－0.1)m＝0.18m即带电粒子打在屏幕上O′上方0.2m到O′下方0.18m的范围内。[答案]　(1)0.2m　(2)1.414×105m/s(3)O′上方0.2m到O′下方0.18m的范围内交变磁场＋恒定电场[例3]　如图甲所示，在直角坐标系中有两条与y轴平行的磁场边界AB和CD，AB、CD与x轴的交点分别为M(2L,0)、N(4L,0)。在AB和CD之间存在着垂直纸面向外的匀强磁场，在AB与y轴之间存在着沿着y轴正方向的匀强电场。现有一质量为m、电荷量为e的电子，在y轴上的P点以初速度v0沿着x轴的正方向射入匀强电场，正好从M点进入匀强磁场，且速度方向与x轴所成夹角为30°。(1)求匀强电场的电场强度E。(2)若电子不能越过边界CD，求匀强磁场的磁感应强度B应满足的条件。(3)若电子通过M点时开始计时，磁场随时间变化的情况如图乙所示(垂直纸面向外为正，且不考虑磁场变化所产生的感生电场)，要使电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与xn轴的夹角为30°。求磁场变化的周期T、磁感应强度B1的大小各应满足的表达式。[解析]　(1)由tanθ＝，vy＝ateE＝ma,2L＝v0t解得：E＝。(2)电子恰好不越过边界CD的轨迹如图甲实线所示v＝，Rsin30°＋R＝2L，eBv＝解得：B＝，即满足B≥。(3)要满足电子从N点射出，且与x轴的夹角为30°，轨迹如图乙所示，在磁场变化的半个周期内，电子偏转了60°，所以在磁场变化的半个周期内，电子在x轴方向上的位移等于R0。nR0＝2L(n＝1,2,3，…)eB1v＝m，v＝解得：B1＝(n＝1,2,3，…)又：＝，T1＝解得：T＝(n＝1,2,3，…)。[答案]　(1)E＝　(2)B≥　(3)T＝(n＝1,2,3，…)　B1＝(n＝1,2,3，…)交变电、磁场[例4]　如图(a)所示的xOy平面处于变化的匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间做周期性变化的图像如图(b)所示，y轴正方向为En的正方向，垂直于纸面向里为B的正方向。t＝0时刻，带负电粒子P(重力不计)由原点O以速度v0沿y轴正方向射出，它恰能沿一定轨道做周期性运动。v0、E0和t0为已知量，图(b)中＝，在0～t0时间内粒子P第一次离x轴最远时的坐标为，。求：(1)粒子P的比荷；(2)t＝2t0时刻粒子P的位置；(3)带电粒子在运动中距离原点O的最远距离L。[解析]　(1)0～t0时间内粒子P在匀强磁场中做匀速圆周运动，当粒子所在位置的纵、横坐标相等时，粒子在磁场中恰好经过圆周，所以粒子P第一次离x轴的最远距离等于轨道半径R，即R＝①又qv0B0＝m②代入＝解得＝。③(2)设粒子P在磁场中运动的周期为T，则T＝④联立①④解得T＝4t0⑤即粒子P做圆周运动后磁场变为电场，粒子以速度v0垂直电场方向进入电场后做类平抛运动，设t0～2t0时间内水平位移和竖直位移分别为x1、y1，则x1＝v0t0＝＝⑥ny1＝at02，⑦其中加速度a＝由③⑦解得y1＝＝R，因此t＝2t0时刻粒子P的位置坐标为，如图中的b点所示。(3)分析知，粒子P在2t0～3t0时间内，电场力产生的加速度方向沿y轴正方向，由对称关系知，在3t0时刻速度方向为x轴正方向，位移x2＝x1＝v0t0；在3t0～5t0时间内粒子P沿逆时针方向做匀速圆周运动，往复运动轨迹如图所示，由图可知，带电粒子在运动中距原点O的最远距离L即O、d间的距离L＝2R＋2x1⑧解得L＝2v0t0。[答案]　(1)　(2)　(3)2v0t0现代科技中的组合场问题近年来，高考试题中不断出现以现代科技为背景的题目，学生应强化对背景的分析，构建出正确的物理模型，现举例如下。离子推进器是太空飞行器常用的动力系统。某种推进器设计的简化原理如图甲所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区。Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场。Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度vM从右侧喷出。Ⅰ区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线处的C点持续射出一定速率范围的电子。假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图乙所示(从左向右看)。电子的初速度方向与中心O点和C点的连线成α角(0<α≤90°)。推进器工作时，向Ⅰ区注入稀薄的氙气。电子使氙气电离的最小速率为v0，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好。已知离子质量为M；电子质量为m，电量为e。(电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞)(1)求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；n(2)为取得好的电离效果，请判断Ⅰ区中的磁场方向(按图乙说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”)；(3)α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v的范围；(4)要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率vmax与α角的关系。解析：(1)由动能定理得MvM2＝Eu①U＝②a＝＝e＝。③(2)垂直纸面向外。④(3)设电子运动的最大半径为r，由图甲中几何关系得2r＝R⑤eBv＝m⑥所以有v0≤v＜⑦要使⑦式有解，磁感应强度B＞。⑧(4)如图乙所示，OA＝R－r，OC＝，AC＝r根据几何关系得r＝⑨由⑥⑨式得vmax＝。　　答案：见解析把握三点，解决现代科技中的组合场问题1．对题目背景涉及的物理知识和原理机制进行认真分析。2．从力、运动、能量三个角度分析粒子的运动过程，并画出运动轨迹的草图。n3．构建物理模型，选择适用的物理规律和方法解决问题。