2020版高中数学第二章等比数列的前n项和（第1课时）等比数列前n项和公式学案 11页

第1课时　等比数列前n项和公式学习目标　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.知识点一　等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式Sn＝Sn＝知识点二　错位相减法1．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．2．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，也可以用这种方法．思考　如果Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn-1，其中{an}是公差为d的等差数列，q≠1.两边同乘以q，再两式相减会怎样？答案　Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn-1，①qSn＝a1q＋a2q2＋…＋an－1qn-1＋anqn，②①－②得，(1－q)Sn＝a1＋(a2－a1)q＋(a3－a2)q2＋…＋(an－an－1)qn-1－anqn＝a1＋d(q＋q2＋…＋qn-1)－anqn.同样能转化为等比数列求和．知识点三　使用等比数列求和公式时注意事项(1)一定不要忽略q＝1的情况；(2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q，可以用Sn＝；(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个．n1．在等比数列{an}中，a1＝b，公比为q，则前3项和为.(　×　)2．求数列{n·2n}的前n项和可用错位相减法．(　√　)3.＝.(　√　)4．等比数列前n项和Sn不可能为0.(　×　)题型一　等比数列前n项和公式的直接应用例1　求下列等比数列前8项的和：(1)，，，…；(2)a1＝27，a9＝，q<0.解　(1)因为a1＝，q＝，所以S8＝＝.(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.又由q<0，可得q＝－，所以S8＝＝＝＝.反思感悟　求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q＝1是否成立．跟踪训练1　(1)求数列{(－1)n＋2}的前100项的和；(2)在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，求此数列的项数．解　(1)方法一　a1＝(－1)3＝－1，q＝－1.∴S100＝＝0.方法二　数列{(－1)n+2}为－1,1，－1,1，…，∴S100＝50×(－1＋1)＝0.n(2)设此数列的公比为q(易知q≠1)，则解得故此数列共有5项．题型二　等比数列基本量的计算例2　在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.解　由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，q＝1，a3＝a1＝2.若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S3＝＝＝6，解得q＝－2(q＝1舍去)．此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.反思感悟　(1)an＝a1qn-1，Sn＝两公式共有5个量．解题时，有几个未知量，就应列几个方程求解．(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．跟踪训练2　已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.答案　63解析　∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，且{an}是递增数列，∴a1＝1，a3＝4，则q＝2，因此S6＝＝63.题型三　利用错位相减法求数列的前n项和例3　求数列的前n项和．解　设Sn＝＋＋＋…＋，则有Sn＝＋＋…＋＋，n两式相减，得Sn－Sn＝＋＋＋…＋－，即Sn＝－＝1－－.∴Sn＝2－－＝2－(n∈N＋)．反思感悟　一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．解　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn+1，∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn+1＝－nxn+1，∴Sn＝－.综上可得，Sn＝分期付款模型典例　小华准备购买一部售价为5000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(参考数据：1.00812≈1.10)解　方法一　设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则A2＝5000×(1＋0.008)2－x＝5000×1.0082－x，A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5000×1.0084－1.0082x－x，…，A12＝5000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，解得x＝＝≈883.5.n故小华每期付款金额约为883.5元．方法二　设小华每期付款x元，到第k个月时已付款及利息为Ak元，则A2＝x；A4＝A2(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082)；A6＝A4(1＋0.008)2＋x＝x(1＋1.0082＋1.0084)；…，A12＝x(1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)．∵年底付清欠款，∴A12＝5000×1.00812，即5000×1.00812＝x(1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，∴x＝≈883.5.故小华每期付款金额约为883.5元．[素养评析]　本题考查数学建模素养，现在购房、购车越来越多采用分期付款方式，但有关方不一定都会计算，所以建立一个老少皆宜的模型来套用是必要的，在建立模型过程中，要把制约因素抽象为符号表示，并通过前若干项探索规律，抓住这些量之间的关系建立关系式.1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于(　　)A.B.C.D.答案　C解析　当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝.2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于(　　)A．2B．4C.D.答案　C解析　方法一　由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，得＝＋1＋q＋q2＝.方法二　∵S4＝，a2＝a1q，∴＝＝.n3．等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是(　　)A．179B．211C．243D．275答案　B解析　∵q4＝＝＝4，且q>0，∴q＝，∴S5＝＝＝211.4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．答案　11a(1.15－1)解析　去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a,1.13a,1.14a,1.15a，∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝n·2n，则Sn＝____________________.答案　(n－1)2n+1＋2(n∈N＋)解析　∵an＝n·2n，∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1，②①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝－n·2n+1＝2n+1－2－n·2n+1＝(1－n)2n+1－2.∴Sn＝(n－1)2n+1＋2(n∈N＋)．1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和.一、选择题1．等比数列{an}中，a1＝2，a2＝1，则S100等于(　　)nA．4－2100B．4＋2100C．4－2－98D．4－2－100答案　C解析　q＝＝.S100＝＝＝4(1－2－100)＝4－2－98.2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为(　　)A．4B．5C．6D．7答案　B解析　显然q≠1，由Sn＝，得93＝，解得q＝2.由an＝a1qn-1，得48＝3×2n-1，解得n＝5.故选B.3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　)A．11B．5C．－8D．－11答案　D解析　由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∵a1≠0，q≠0，∴q＝－2，则＝＝－11.4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于(　　)A.B．－C.D．－答案　C解析　设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.5．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(　　)A．－2B．－1nC.D.答案　B解析　由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1，故选B.6．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于(　　)A．－6(1－3-10)B.(1－3-10)C．3(1－3-10)D．3(1＋3-10)答案　C解析　由3an＋1＋an＝0，得＝－，故数列{an}是公比q＝－的等比数列．又a2＝－，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3－10)．7．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)(　　)A．300米B．299米C．199米D．166米答案　A解析　小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300(米)．二、填空题8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.答案　3解析　∵S6＝4S3，∴q≠1，∴＝，∴q3＝3，∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.9．数列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.n答案　2n－1(n∈N＋)解析　an－an－1＝a1qn－1＝2n－1(n≥2)，即各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，an＝a1＋2n－2＝2n－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝2－1＝1，符合．∴an＝2n－1(n∈N＋)．10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．答案　解析　由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．∴a2＝3a3，∴{an}的公比q＝＝.11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q＝________.答案　－解析　当q＝1时，Sn＝na1，S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9；当q≠1时，＋＝2×，得2－q3－q6＝2－2q9，∴2q9－q6－q3＝0，解得q3＝－或q3＝1(舍去)或q3＝0(舍去)，∴q＝－.三、解答题12．(2018·绵阳检测)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．解　设数列{an}的公比为q(q≠0)．由已知可得所以解②得q＝3或q＝1.由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．n故公比q＝3，首项a1＝1.所以数列{an}的前n项和Sn＝＝＝(n∈N＋)．13．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an＝，n∈N＋.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.解　(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an＝，∴a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-2an－1＝(n≥2)，两式相减得3n-1an＝－＝(n≥2)，∴an＝(n≥2)．验证当n＝1时，a1＝也满足上式，故an＝(n∈N＋)．(2)∵bn＝＝n·3n，∴Sn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，①①×3，得3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n+1，②由①－②，得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n+1，即－2Sn＝－n·3n+1，∴Sn＝·3n+1＋(n∈N＋)．14．在等比数列{an}中，对任意n∈N＋，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(　　)A．(2n－1)2B.C．4n－1D.答案　D解析　∵a1＋a2＋…＋an＝2n－1，∴a1＝21－1＝1.∵a1＋a2＝1＋a2＝22－1＝3，∴a2＝2，∴{an}的公比为2.∴{a}的公比为4，首项为a＝1.n∴a＋a＋…＋a＝＝.15．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．解　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得故数列{an}的通项公式为an＝2－n，n∈N＋.(2)设数列的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋＋…＋，①＝＋＋…＋＋.②所以，当n＞1时，①－②得＝a1＋＋…＋－＝1－－＝1－－＝.所以Sn＝，当n＝1时也成立．综上，数列的前n项和Sn＝，n∈N＋.