2020版高中数学第二章数列专题突破二数列的单调性和最大小项学案新人教b版 10页

专题突破二　数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{an}满足：对一切正整数n，都有an＋1＞an(或an＋1＜an)，则称数列{an}为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性．②利用定义判断：作差比较法，即作差比较an＋1与an的大小；作商比较法，即作商比较an＋1与an的大小，从而判断出数列{an}的单调性．例1　已知函数f(x)＝(x≥1)，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)．试判断数列的单调性．解　f(x)＝＝－2＋.方法一　∵an＝－2＋(n∈N＋)，an＋1＝－2＋，∴an＋1－an＝－＝＝＜0.∴an＋1＜an.∴数列{an}是递减数列．方法二　设x1＞x2≥1，则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝，∵x1＞x2≥1，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数，∴an＝f(n)为递减数列．反思感悟　研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意nx10，n≥6时，an<0.∴{an}的最大值为a5.例3　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N＋.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出其最小值．解　(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.∵n∈N＋，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵an＝n2－5n＋4＝2－，且n∈N＋，∴当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟　有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3　已知(－1)na＜1－对任意n∈N＋恒成立，则实数a的取值范围是________．答案　解析　设f(n)＝1－，n≥1，则f(n)单调递增．当n为奇数时，有－a＜1－又f(n)min＝f(1)＝1－＝.∴－a＜即a＞－.当n为偶数时，a＜1－.f(n)min＝f(2)＝1－＝.∴a＜.综上，－＜a＜.n例4　已知数列{an}的通项公式为an＝nn+1，n∈N＋，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，请说明理由．解　∵an＋1－an＝(n＋1)·n+2－nn+1＝n+1·，且n∈N＋，∴当n>3，n∈N＋时，an＋1－an<0；当1≤n≤3，n∈N＋时，an＋1－an>0.综上，可知{an}在n∈{1,2,3}时，单调递增；在n∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a3＝3×3+1－(2n＋1)，n∈N＋⇔λ>－3.∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有即解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟　注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足不一定a7最小．n跟踪训练5　数列{an}中，an＝2n－1－k·2n－1，n∈N＋，若{an}是递减数列，求实数k的取值范围．解　an＋1＝2(n＋1)－1－k·2n＋1－1＝2n＋1－k·2n，an＋1－an＝2－k·2n－1.∵{an}是递减数列，∴对任意n∈N＋，有2－k·2n－1＜0，即k＞恒成立，∴k＞max＝2，∴k的取值范围为(2，＋∞)．1．设an＝－2n2＋29n＋3，n∈N＋，则数列{an}的最大项是(　　)A．103B.C.D．108答案　D解析　∵an＝－22＋2×＋3，n∈N＋，∴当n＝7时，an取得最大值，最大值为a7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{an}的通项公式为an＝n-1－n-1(n∈N＋)，则数列{an}(　　)A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项答案　C解析　an＝n-1－n-1＝2－n-1，n令n-1＝t，则t是区间(0,1]内的值，而an＝t2－t＝2－，所以当n＝1，即t＝1时，an取最大值．使n-1最接近的n的值为数列{an}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．3．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大(　　)A．10B．11C．10或11D．12答案　C解析　∵an＝－n2＋10n＋11是关于n的二次函数，∴数列{an}是抛物线f(x)＝－x2＋10x＋11上的一些离散的点，∴{an}前10项都是正数，第11项是0，∴数列{an}前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1(n∈N＋，2≤n≤10)，则数列{an}的最大项的值为________．答案　1024解析　∵a1＝2，an＝2an－1，∴an≠0，∴＝2＞1，∴an＞an－1，即{an}单调递增，∴{an}的最大项为a10＝2a9＝22a8＝…＝29·a1＝29·2＝210＝1024.5．已知数列{an}中，an＝1＋.若a6为最大项，则实数m的取值范围是________．答案　(－11，－9)解析　根据题意知，y＝1＋的图象如下：由a6为最大项，知5＜＜6.∴－11＜m＜－9.一、选择题1．已知数列{an}满足a1>0，2an＋1＝an，则数列{an}是(　　)nA．递增数列B．递减数列C．常数列D．以上都不对答案　B解析　∵a1>0，an＋1＝an，∴an>0，∴＝<1，∴an＋10，∴数列{an}是递增数列．3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－9n－100，则其最小项是(　　)A．第4项B．第5项C．第6项D．第4项或第5项答案　D解析　f(x)＝x2－9x－100的对称轴为x＝，且开口向上．∴an＝n2－9n－100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　)A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]答案　C解析　∵{an}是递减数列，∴an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.5．函数f(x)满足f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N＋)，an＝f(n)，则{an}是(　　)A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定答案　A解析　an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＝3>0.6．已知p>0，n∈N＋，则数列{log0.5pn}是(　　)A．递增数列B．递减数列C．增减性与p的取值有关D．常数列答案　Cn解析　令an＝log0.5pn.当p>1时，pn+1>pn，∴log0.5pn+10)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增，故数列an＝(n∈N＋)在区间(0，)上递增，在区间(，＋∞)上递减．又2<<3，且a2＝a3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列an的通项公式an＝n＋，若对任意的n∈N＋，都有an≥a3，则实数k的取值范围为(　　)A．[6,12]B．(6,12)C．[5,12]D．(5,12)答案　A解析　n＋≥3＋对任意的n∈N＋恒成立，则k≥3－n，≥3－n，当n≥4时，k≤3n，所以k≤12，当n＝1时，k≥3，当n＝2时，k≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k≤12.二、填空题9．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n，则数列{an}的各项中的最小项是第________项．答案　5解析　易知，an＝3n2－28n＝32－，故当n取附近的正整数时，an最小．又4<<5，且a4＝－64，a5＝－65，故数列{an}的各项中的最小项是第5项．n10．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为________(填序号)．①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝；④an＝(－1)n.答案　①③解析　可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．答案　(2,3)解析　由题意，得点(n，an)分布在分段函数f(x)＝的图象上．因此当3－a>0时，a11时，a80，即2n＋1－k>0，n∈N＋恒成立，分离变量得k<2n＋1，故需k<3即可，所以k的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{an}的通项公式为an＝.(1)判断{an}的单调性；(2)求{an}的最小项．解　(1)an＋1－an＝(n＋1)＋－＝1＋－＝，且n∈N＋，当1≤n≤2时，an＋1－an＜0，当n≥3时，an＋1－an＞0，即n＝1，n＝2时，{an}递减，n≥3时，{an}递增．n(2)由(1)知{an}的最小项从a2，a3中产生．由a2＝＞a3＝，∴{an}的最小项为a3＝.14．已知数列an＝，则数列{an}中的最小项是第________项．答案　5解析　an＝＝＝＋，令3n－16<0，得n<.又f(n)＝an在上单调递减，且n∈N＋，所以当n＝5时，an取最小值．15．作出数列{an}：an＝－n2＋10n＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值．解　列表n1234567891011…an202732353635322720110…图象如图所示．由数列的图象知，当1≤n≤5时数列递增；当n>5时数列递减，最大值为a5＝36，无最小值．