2020版高中数学第二章椭圆的几何性质（第2课时）直线与椭圆的位置关系（一）学案 15页

第2课时　直线与椭圆的位置关系(一)学习目标　进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系．知识点一　点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1.知识点二　直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示.位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<01．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(　×　)2．直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(　√　)n题型一　点与椭圆位置关系的判断例1　已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．考点　题点　答案　∪解析　依题意得，＋>1，解得k<－或k>.引申探究若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？解　依题意得，＋>1，解得k2>，即k<－或k>.反思感悟　处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1　已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．考点　题点　答案　9解析　依题意得，＋＝1，而m＋n＝(m＋n)＝1＋＋＋4＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当n＝2m时等号成立，故m＋n的最小值为9.n题型二　直线与椭圆的位置关系命题角度1　由直线与椭圆的位置关系求参数问题例2　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆的公共点个数问题解　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③这个关于x的一元二次方程的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)由Δ>0，得－33.从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．反思感悟　直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．n考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆的公共点个数问题解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，所以k的取值范围为∪.命题角度2　可化为直线与椭圆位置关系问题例3　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆的公共点个数问题解　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0，解得m2＝16，即m＝±4，故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝x－4，即3x－2y－8＝0距l最近，且最短距离d＝＝.由得故切点为P.n反思感悟　椭圆上的点到定直线的距离的最小值问题可转化为直线与椭圆位置关系问题，通过方程和判别式可达到解决此类题的目的．跟踪训练3　已知椭圆x2＋8y2＝8，直线l：x－y＋a＝0.(1)当a为何值时，l与椭圆相切；(2)若a＝6，在椭圆x2＋8y2＝8上求一点P，使它到直线l的距离最短，并求出最短距离．考点　题点　解　(1)由已知联立方程组得9y2－2ay＋a2－8＝0，Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝－3或a＝3.此时椭圆与直线l相切．(2)由(1)知与l平行的两切线方程为x－y－3＝0或x－y＋3＝0，显然x－y＋3＝0距l最近，d＝＝，切点P.椭圆中的对称问题典例　如图，已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．求实数m的取值范围．解　由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0，①n设点M为AB的中点，则M，代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－.②由①②得m<－或m>.[素养评析]　(1)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(2)通过图形捕捉到形与数联系的纽带，为解决问题打开了思路．因此，培养学生直观想象的数学素养，是提高解题能力的源泉.1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，－)∪(，＋∞)B．(－，)C．[－，]D．(－2,2)考点　答案　B解析　由题意，得＋＜1，即a2＜2，解得－＜a＜.2．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)A．相离B．相切C．相交D．相交或相切考点　题点　答案　A解析　把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0,∴直线与椭圆相离．n3．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是________．考点　题点　答案　解析　椭圆＋＝1的右焦点为(1,0)，所以右焦点到直线y＝x的距离为＝.4．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是________．考点　题点　答案　解析　由得5x2＋2mx＋m2－1＝0，当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，即－4m2＋5≥0，解得－≤m≤.5．若直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为________．答案　(－2,2)解析　∵直线y＝kx＋b恒过定点(0，b)，且直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，∴点(0，b)在椭圆＋＝1内部，∴－21，解得a>或a<－，故选B.2．直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)A．相交B．相切C．相离D．无法判断考点　题点　答案　A解析　方法一　直线过点(0,1)，而0＋<1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．方法二　联立直线与椭圆的方程，得消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交．3．直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)A．相离B．相交C．相切D．无法判断考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆的公共点个数问题答案　B解析　直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，n将P(2,1)代入椭圆方程，得＋<1，所以P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．4．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)A．m>1B．m≥1C．m>3D．m>1且m≠3考点　题点　答案　D解析　由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ>0，即16m2－4m(3＋m)>0，∴m>1且m<0，又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.5．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为(　　)A.B．±C.D．±考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆相交的其他问题答案　B解析　根据椭圆的离心率为，得＝.由x0＝b，得y＝b2＝，所以y0＝±，∴k＝＝±＝±.6．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是(　　)A.B．－C．±D．±考点　题点　答案　C解析　联立方程可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，nΔ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，解得k＝±.7．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆的公共点个数问题答案　C解析　由题意设椭圆方程为＋＝1，得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ≥0得b2≥4，所以b2的最小值为4，由e＝＝，则b2＝4时，e取最大值，故选C.8.椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　)A．±B．±C．±D．±答案　C解析　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是3，∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±.二、填空题n9．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为____________________________________________________________．考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆的公共点个数问题答案　2解析　由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>2)，与直线方程x＋y＋4＝0联立，得4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，由Δ＝0，得a＝，所以椭圆的长轴长为2.10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率e＝________.答案　解析　设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，且∠AFB＝90°，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|BF|＝|AF1|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.11．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆的公共点个数问题答案　2解析　因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，所以>2，所以m2＋n2<4，即点P(m，n)在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包含边界)，故过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点．三、解答题n12.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A，B，且|AB|＝|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若斜率为2的直线l过点(0,2)，且l交椭圆C于P，Q两点，OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程．解　(1)由已知|AB|＝|BF|，即＝a，4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝＝.(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C：＋＝1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.由消去y，得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0.Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.x1＋x2＝－，x1x2＝.∵OP⊥OQ，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.从而－＋4＝0，解得b＝1，满足b>.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.n13．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．考点　题点　解　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)．化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.14．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若·<0，则x0的取值范围是(　　)A.B.C.D.考点　题点　n答案　A解析　由F1(－，0)，F2(，0)，·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝(－－x0)(－x0)＋y＝x＋y－3<0，①由＋y＝1，即y＝1－，②②代入①可得，x－2<0，即－0，所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.