2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆的标准方程学案新人教b版选修 14页

2.2.1　椭圆的标准方程学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一　椭圆的定义1．我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．3．2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a>|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a＝|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a<|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在知识点二　椭圆的标准方程1．椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上＋＝1(a>b>0)F1(－c,0)，F2(c,0)2c焦点在y轴上＋＝1(a>b>0)F1(0，－c)，F2(0，c)2c2．椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系n椭圆在坐标系中的位置标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c23.根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，焦距|F1F2|＝2.1．到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．(　×　)2．椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．(　×　)3．椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　√　)题型一　椭圆定义的应用例1　点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．解　方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆．反思感悟　椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条n件．跟踪训练1　下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．答案　②解析　①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．题型二　求椭圆的标准方程例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；(3)经过点P，Q.考点　椭圆标准方程的求法题点　待定系数法求椭圆的标准方程解　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以所以所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，即a＝，n又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.(3)方法一　①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意，有解得由a>b>0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意，有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．则解得所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，故椭圆的标准方程为＋＝1.反思感悟　求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．跟踪训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．n解　(1)设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．则2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，则解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．则解得∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.题型三　椭圆中焦点三角形问题例3　(1)已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积；(2)已知椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，求∠F1PF2的大小．解　(1)由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos30°，即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．∴＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4.(2)由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝－，n又∵0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝120°.反思感悟　在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形．这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数．在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．跟踪训练3　已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|.(1)求点P的轨迹方程；(2)若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．解　(1)依题意知|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>2＝|F1F2|，∴点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝，故所求点P的轨迹方程为＋＝1.(2)设m＝|PF1|，n＝|PF2|，则m＋n＝2a＝4.在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos60°)，解得mn＝4.∴＝mnsin∠F1PF2＝×4sin60°＝.待定系数法求椭圆的标准方程典例　求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和的椭圆的标准方程．考点　椭圆标准方程的求法题点　待定系数法求椭圆的标准方程解　方法一　若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得n解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得则a2b>0矛盾，舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二　设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.[素养评析]　通过两种解法的对比，采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题过程，减少数学运算，提高解题效率．这也正是数学运算策略升级的有力佐证.1．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)A．5B．6C．7D．8考点　椭圆的标准方程题点　由椭圆的标准方程求焦点、焦距答案　D解析　设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2.结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，故|PF2|＝8.2．平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足||＋||为常数”是“M的轨迹是椭圆”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点　与椭圆有关的轨迹方程n题点　圆与椭圆答案　B解析　当||＋||为常数且||＋||>||时，M的轨迹才是椭圆．3．若方程3x2＋ky2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为(　　)A．1B．3C．0D．－2答案　A解析　当k＝1时，原方程可化为＋＝1，它表示焦点在y轴上的椭圆，其他选项不合题意．4．已知椭圆的焦点坐标为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋x2＝1答案　A解析　c＝1，a＝×(＋)＝2，∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆的方程为＋＝1.5．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________．答案　18解析　△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c.因为2a＝10，c＝＝4，所以周长为10＋8＝18.1．椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．在解题过程中将|PF1|＋|PF2|看成一个整体，可简化运算．2．椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决．3．凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)是否适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.n一、选择题1．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)A．4B．8C．4或8D．12答案　C解析　当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.2．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为(　　)A．－1B．1C.D．－答案　B解析　原方程可化简为x2＋＝1，由c2＝－1＝4，得k＝1.3．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C．x2＋＝1D.＋＝1答案　D解析　由题意知a2－2＝4，∴a2＝6，∴所求椭圆的方程为＋＝1.4．“1b>0)．设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．∵F1A⊥F2A,∴·＝0，而＝(－4＋c,3)，＝(－4－c,3)，∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，∴c2＝25，即c＝5.∴F1(－5,0)，F2(5,0)．∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4.∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.n∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.14．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．答案　＋＝1解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得相减得＋＝0，所以＋·＝0.因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，＝kAB＝＝.所以＋×＝0，化为a2＝2b2，又c＝3＝，解得a2＝18，b2＝9.所以椭圆E的方程为＋＝1.15.如图所示，△ABC的底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．解　以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0)，C(－6,0)，CE，BD为AB，AC边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30.由重心性质可知，|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20.∵B，C是两个定点，G点到B，C的距离和等于定值20，且20＞12，∴G点的轨迹是椭圆，B，C是椭圆焦点，n∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，b2＝a2－c2＝102－62＝64，故G点的轨迹方程为＋＝1(x≠±10)．设G(x′，y′)，A(x，y)，则有＋＝1.由重心坐标公式知故A点轨迹方程为＋＝1，即＋＝1(x≠±30).