2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学案新人教b版选修 15页

2.4.2　抛物线的几何性质学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一　抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点FFFF准线方程x＝－x＝y＝－y＝顶点坐标O(0,0)离心率e＝1通径长2p知识点二　直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．1．拋物线没有渐近线．(　√　)2．过拋物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p.(　×　)3．若一条直线与拋物线只有一个公共点，则二者一定相切．(　×　)4．拋物线只有一条对称轴，没有对称中心．(　√　)5．拋物线的开口大小由拋物线的离心率决定．(　×　)n题型一　抛物线的几何性质的应用例1　(1)顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)A．x2＝16yB．x2＝8yC．x2＝±8yD．x2＝±16y答案　D解析　顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4，知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y或x2＝－16y.(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程．考点　抛物线的简单几何性质题点　抛物线与其他曲线结合有关问题解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与B关于x轴对称，∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，得x2＋3＝4，∴x＝±1，∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，得()2＝±a，∴a＝±3.∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.反思感悟　把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1　已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．n考点　抛物线的简单几何性质题点　焦点、准线、对称性的简单应用解　(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3,0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24；所以m＝2或m＝－2，所以A(3,2)，B(3，－2)，所以|OA|＝|OB|＝，所以△OAB的周长为2＋4.题型二　直线与抛物线的位置关系命题角度1　直线与抛物线位置关系的判断例2　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．考点　直线与抛物线的位置关系题点　直线与抛物线公共点个数问题解　联立消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，∴y＝1，n∴直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；当k>1时，l与C没有公共点．反思感悟　直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．(2)若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．跟踪训练2　如图所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．考点　直线与抛物线的位置关系题点　直线与抛物线公共点个数问题解　(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)即为x2－4x＋4＝0，解得x＝2.将其代入x2＝4y，得y＝1.故点A(2,1)．n因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.命题角度2　直线与抛物线的相交弦问题例3　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．考点　抛物线中过焦点的弦长问题题点　与弦长有关的其它问题解　由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意．所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k，k≠0.由消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.所以|AB|＝＝＝·＝2p＝p，解得k＝±2.所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.引申探究本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．解　如图，过A，B分别作准线x＝－的垂线交准线于C，D点．n由定义知|AC|＋|BD|＝p，则梯形ABDC的中位线|ME|＝p，∴M点到y轴的距离为p－＝p.反思感悟　求抛物线弦长问题的方法(1)一般弦长公式|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|.(2)焦点弦长设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．跟踪训练3　已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求实数m的值；(2)若OA⊥OB，求实数m的值．考点　直线与抛物线的位置关系题点　直线与抛物线的综合问题解　由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.(1)因为|AB|＝·＝·＝10，所以m＝，经检验符合题意．(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8或m＝0(舍去)．所以m＝－8，经检验符合题意．与抛物线有关的最值问题典例　求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．n考点　直线与抛物线的位置关系题点　直线与抛物线的综合问题解　方法一　设A(t，－t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝＝＝2＋.所以当t＝时，d有最小值.方法二　如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，由消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.故最小距离为＝＝.[素养评析]　(1)求抛物线上一点到定直线的距离的最值，最常见的解题思路：一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决．二是转化两平行线间距离代入两平行线间距离公式可求得．(2)建立形与数的联系，提升数形结合的能力，有利于优化解题的方式与方法．1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)nA．－B．－1C．－D．－答案　C解析　因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，故－＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.2．以x轴为对称轴的拋物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若拋物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y答案　C解析　设拋物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，由题意知p＝4，∴拋物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)A.B．3C.D.答案　A解析　抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点F到点(0,2)的距离，因此所求距离之和的最小值为＝.4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.答案　8解析　易知抛物线的准线方程为x＝－1，则线段AB的中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义易得|AB|＝8.5．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，Bn两点，若线段AB的长为8，则p＝________.答案　2解析　设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，易知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，把x＝y＋代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0，∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.∵|AB|＝8，∴|y1－y2|＝4，∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2，即(2p)2－4×(－p2)＝32.又p>0，∴p＝2.1．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．2．轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．3．在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．一、选择题1．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F，所以P点的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为.2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为(　　)nA．2B．1C.D.答案　A解析　曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3，解得p＝2.3．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　)A．4B．5C．6D．7考点　抛物线的定义题点　抛物线定义的直接应用答案　A解析　由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则P(3，±2)，∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.4．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p的值为(　　)A．2B．4C．6D．8答案　D解析　∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，∴＋＝6，∴p＝8.5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其上的三个点A，B，C的横坐标之比为3∶4∶5，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形(　　)A．不存在B．必是锐角三角形C．必是钝角三角形D．必是直角三角形答案　B解析　设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x1＝3k，x2＝4k，x3＝5k(k>0)，由抛物线定义得|FA|＝＋3k，|FB|＝＋4k，|FC|＝＋5k，易知三者能构成三角形，|FCn|所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．6．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)A．8p2B．4p2C．2p2D．p2答案　B解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组得或所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.7．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是(　　)A．2B．3C．4D．0答案　B解析　因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，所以当x＝0时，z最小，其最小值为3.8．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1等于(　　)A．45°B．90°C．60°D．120°答案　B解析　如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，∴∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，∴∠AFA1＝∠A1FO，n同理∠BFB1＝∠B1FO，于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.二、填空题9．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．答案　y2＝4x解析　设抛物线方程为y2＝kx(k≠0)，与y＝x联立方程组，消去y，得x2－kx＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2),∴x1＋x2＝k.又∵P(2,2)为AB的中点，∴＝2.∴k＝4.∴y2＝4x.10．已知抛物线y2＝8x，过动点M(a,0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________．答案　(－2，－1]解析　将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，则Δ＝4(a＋4)2－4a2>0，∴a>－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，∴|AB|＝＝≤8，即≤1.∴－20)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.考点　抛物线的简单几何性质题点　抛物线与其他曲线结合有关问题答案　6解析　抛物线的焦点坐标F，准线方程为y＝－.代入－＝1得＝.要使△ABF为等边三角形，则tan＝＝＝，解得p2＝36，又p>0，所以p＝6.n三、解答题12．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被Q平分，求弦AB所在直线的方程．解　设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．∵点Q是弦AB的中点，∴y1＋y2＝2，于是＝4，即直线AB的斜率为4，故弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.13．已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x－2y－1＝0所得的弦长为，求此抛物线的方程．解　设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，由方程组消去y，得2x2－ax＋a＝0.∵直线与抛物线有两个交点，∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即a<0或a>8.设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝＝＝.∵|AB|＝，∴＝，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，∴所求抛物线的方程为x2＝－4y或x2＝12y.14．已知倾斜角为的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，抛物线C上存在点P与x轴上一点Q(5,0)关于直线l对称，则p等于(　　)A.B．1C．2D．3考点　抛物线的简单几何性质题点　焦点、准线、对称性的简单应用答案　Cn解析　由题意得，F，设P(x0，y0)，直线PQ的方程为y＝－(x－5)，由得3(x0－5)2＝2px0，又|FP|＝|FQ|，即x0＋＝，由解得(舍去)或综上，p＝2.15．已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，＝4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．解　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由题意知直线l的方程为x＝2y－4.由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴又∵＝4，∴y2＝4y1，③由①②③及p>0，得y1＝1，y2＝4，p＝2，故抛物线G的方程为x2＝4y.(2)易知，直线l的斜率必存在．设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由得x2－4kx－16k＝0，④∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0，得k>0或k<－4.n故b的取值范围是(2，＋∞)．