2020版高中数学第三章不等式阶段训练四新人教b版 5页

阶段训练四(范围：§3.1～§3.2)一、选择题1．给定下列命题：①a＞b⇒a2＞b2；②a2＞b2⇒a＞b；③a＞b⇒<1；④a＞b⇒<．其中正确的命题个数是(　　)A．0B．1C．2D．3答案　A解析　对于①②，只有当a＞b＞0时，a2＞b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a＞0且a＞b时，<1才成立，故③错误；当a＞0，b<0时，④错误．2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)A．16B．25C．9D．36答案　B解析　(1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2＝25，当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时等号成立，所以(1＋x)(1＋y)的最大值为25，故选B.3．已知a，b∈(0,1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是(　　)A．MND．不确定答案　C解析　M－N＝ab－a－b＋1＝(1－a)(1－b)>0，∴M>N.4．若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　)A．M＝NB．MN答案　B解析　∵x>0，y>0，n∴x＋y＋1>1＋x>0，1＋x＋y>1＋y>0，∴<，<，故M＝＝＋<＋＝N，即Mb>c，则下列不等式成立的是(　　)A．>B．bcD．acb>c，所以a－c>0，b－c>0，且a－c>b－c，所以<.6．已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为(　　)A．B．3C．D．1答案　C解析　因为x>0，y>0，2x＋3y＝6，所以xy＝(2x·3y)≤·2＝·2＝.当且仅当2x＝3y＝3，即x＝，y＝1时等号成立，即xy的最大值为.7．函数y＝(x＞1)在x＝t处取得最小值，则t等于(　　)A．1＋B．2C．3D．4答案　B解析　∵x－1>0，∴y＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．二、填空题8．已知函数f(x)＝ax＋b,00，∴an＋1>an.10．已知00，y>0，且＋＝1，若对任意x>0，y>0，x＋y>m2＋8m恒成立，则实数m的取值范围是________．答案　(－9,1)解析　∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋4≥9(当且仅当x＝3，y＝6时取等号)，∴(x＋y)min＝9．又∵对任意x>0，y>0，x＋y>m2＋8m恒成立，∴m2＋8m<9，解得－90，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明　∵a，b，c>0，∴a2＋b2≥2ab，∴＋b≥2a.同理＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥a＋b＋c.当且仅当a＝b＝c时，取等号．14．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是________．答案　4＋7解析　∵log4(3a＋4b)＝log2＝log4(ab)，∴3a＋4b＝ab，∴＋＝1．∴a＋b＝(a＋b)＝＋＋7≥4＋7．当且仅当＝，即a＝2＋4，b＝3＋2时，取等号．15．已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1．求证：＋＋<＋＋．证明　因为a，b，c都是正实数，且abc＝1，所以＋≥2＝2，＋≥2＝2，n＋≥2＝2，以上三个不等式相加，得2≥2(＋＋)，即＋＋≥＋＋．因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立．所以＋＋<＋＋．