2020版高中数学第三章利用导数研究函数的极值（第2课时）利用导数研究函数的最值学案 18页

第2课时　利用导数研究函数的最值学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点一　函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．特别提醒：(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分不必要条件．知识点二　求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．知识点三　最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象，显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．n1．函数的最大值一定是函数的极大值．(　×　)2．开区间上的单调连续函数无最值．(　√　)3．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．(　×　)题型一　求函数的最值命题角度1　不含参数的函数求最值例1　求下列各函数的最值．(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]．考点　利用导数求函数的最值题点　不含参数的函数求最值解　(1)f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2f′(x)0－0＋f(x)57↘－↗由于当x>时，f′(x)>0，所以f(x)在上为增函数．因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－，无最大值．(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝或x＝.n计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，f＝－.所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.反思感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．跟踪训练1　已知函数f(x)＝＋lnx，求f(x)在上的最大值和最小值．考点　题点　解　易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝＋lnx＝－1＋lnx，∴f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x1(1,2)2f′(x)－0＋f(x)1－ln2↘极小值0↗－＋ln2∴在上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0.又f＝1－ln2，f(2)＝－＋ln2，∴f－f(2)＝－2ln2＝×(3－4ln2)＝ln>0，∴f>f(2)，n∴f(x)在上的最大值为f＝1－ln2，最小值为f(1)＝0.命题角度2　含参数的函数求最值例2　已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．考点　含参数的函数最值问题题点　含参数的函数求最值解　(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘－ek－1↗所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增．所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，当00，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)当x∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；③当10，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝lna＋1，由lna＋1＝，得a＝.④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f′(x)≤0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾．综上所述，a的值为.题型二　由函数的最值求参数例3　(2018·四川省雅安中学期中)已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b(a≠0)，问是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．考点　含参数的函数最值问题题点　知最值求参数解　由题设知a≠0，由f(x)＝ax3－6ax2＋b，求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．n①当a>0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b↗b↘－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思感悟　已知函数的最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．跟踪训练3　设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.当00，所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．当00，得x>2或x<－2.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)因为f(－4)＝－，f(－2)＝，f(2)＝－，f(3)＝1，所以函数f(x)在[－4,3]上的最大值为.要使f(x)≤m2＋m＋在[－4,3]上恒成立，只需m2＋m＋≥，解得m≥2或m≤－3.所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．反思感悟　不等式恒成立问题常用的解题方法n跟踪训练4　已知函数f(x)＝xlnx．若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，则实数a的取值范围为________．题点　函数最值的应用题点　恒成立中参数的取值范围答案　(－∞，1]解析　由题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a≤lnx＋在x∈[1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝lnx＋，则g′(x)＝－＝，当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)的最小值是g(1)＝1.因此a≤g(x)min＝g(1)＝1，故a的取值范围为(－∞，1]．已知最值求参数的范围典例　(2018·太原检测)已知函数f(x)＝3x2＋1(x>0)，g(x)＝x3－9x，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k的取值范围为________．考点　题点　答案　(－∞，－3]解析　f(x)＋g(x)＝x3＋3x2－9x＋1.令F(x)＝f(x)＋g(x)，则F′(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)，令F′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.当x<－3或x>1时，F′(x)>0；当－30.所以f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增．又因为f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，所以f(－1)－f(1)＝2＋－e<0，所以f(－1)0对一切实数x恒成立，即f(x)min>0.f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0，当x<0时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴当x＝0时，f(x)取得极小值即最小值，为f(0)＝1＋a，∴1＋a>0，即a>－1，故实数a的取值范围是(－1，＋∞)．5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间．(2)若对任意x∈[－1,2]，不等式f(x)f(2)＝2＋c，解得c<－1或c>2.故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．2．已知最值求参数，用参数表示最值时，应分类讨论．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.一、选择题1．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值考点　函数最值的应用题点　最值存在性问题答案　D解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.n2．函数y＝－的最小值是(　　)A．－B．－eC．－e2D.考点　题点　答案　A解析　由y′＝＝0，得x＝e，x∈(0，e)时，y′<0，x∈(e，＋∞)时，y′>0.故ymin＝y极小值＝－.3．函数y＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为(　　)A．0B.C.D.考点　题点　答案　B解析　y′＝1－2sinx，令y′＝0，得sinx＝，∵x∈，∴x＝.由y′>0得sinx<，∴0≤x<；由y′<0得sinx>，∴0，即－6b<0，且3－6b>0，∴00，即h(3)＝a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．二、填空题9．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为________．考点　题点　答案　解析　f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在[2,4]上是减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.10．(2018·济南检测)若函数f(x)＝在(－2，a)上有最小值，则a的取值范围为________．考点　n题点　答案　(－1，＋∞)解析　f′(x)＝，令f′(x)>0，解得x>－1；令f′(x)<0，解得x<－1.故f(x)在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，若f(x)在(－2，a)上有最小值，则a>－1.11．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．考点　题点　答案　[4，＋∞)解析　因为x∈(0,1]，f(x)≥0可化为a≥－，设g(x)＝－，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝.当00；当0，即当x＝3时，f(x)取得极小值f(3)＝－9.又f(1)＝－1，f(5)＝15，∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.13．设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．考点　函数最值的应用题点　恒成立中参数的取值范围解　(1)由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，所以g(x)＝lnx＋，所以g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调递减区间；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，也是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.(2)因为g(a)－g(x)<对任意x>0成立，即lna0成立．由(1)知，g(x)的最小值为1，所以lna<1，解得00)，则y′＝2t－＝＝.当0时，y′>0，可知y在内单调递增．故当t＝时，|MN|有最小值．15．已知函数f(x)＝－x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值．考点　含参数的函数最值问题题点　含参数的函数求最值解　(1)f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x2＝1－lnx.显然x＝1是上面方程的解．令g(x)＝x2＋lnx－1，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝2x＋>0，∴函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴x＝1是方程f′(x)＝0的唯一解．n∵当00；当x>1时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．①当0<2m≤1，即0