2020版高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2量词学案新人教b版 11页

1．1.2　量　词学习目标　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念，能够用符号表示全称命题与存在性命题.3.掌握判断全称命题和存在性命题的方法．知识点一　全称量词、全称命题1．概念短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．2．表示将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．3．全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个x∈M，使得p(x)不成立即可．知识点二　存在量词、存在性命题1．概念短语“有一个”或“有些”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．2．表示存在性命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”．3．存在性命题的真假判定要判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则这一存在性命题就是假命题．1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　×　)2．全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．(　×　)3．存在性命题中的量词一定不能省略．(　√　)4．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　√　)n题型一　全称命题与存在性命题的辨析例1　判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次函数都存在零点；(4)过两条平行线有且只有一个平面．考点　全称命题与存在性命题的综合问题题点　全称命题与存在性命题的辨析解　命题(1)完整的表述应为“任意一个梯形的对角线相等”，很显然为全称命题．命题(2)为存在性命题．命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题．命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．反思感悟　判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词．由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．跟踪训练1　下列命题中，是全称命题的是________，是存在性命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．考点　全称命题与存在性命题的综合问题题点　全称命题与存在性命题的辨析答案　①②③　④题型二　全称命题与存在性命题的真假判断例2　判断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；(5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；(6)∃x∈R，x2－3x＋2＝0.解　(1)真命题．n(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示．(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．(5)假命题，只有当x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．(6)真命题，x＝2或x＝1，都能使等式x2－3x＋2＝0成立．反思感悟　要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．要判断存在性命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．跟踪训练2　判断下列命题的真假：(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)∃x∈R,2x2＋x＋1<0.解　(1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．(2)该命题是存在性命题．∵2x2＋x＋1＝22＋≥>0，∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题．题型三　由含量词的命题求参数例3　对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立．求实数m的取值范围．解　令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝sin≥－，又∵∀x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，∴只要m<－即可．∴所求m的取值范围是(－∞，－)．引申探究若将本例条件改为：存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围．解　令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝sin∈[－，]．又∵∃x∈R，sinx＋cosx>m有解，n∴只要m<即可，∴所求m的取值范围是(－∞，)．反思感悟　(1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题．(2)含参数的存在性命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决．跟踪训练3　(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；(2)若命题p：＝sinx－cosx是真命题，求实数x的取值范围．解　(1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥，∴实数a的取值范围为.(2)由＝sinx－cosx，得＝sinx－cosx，∴＝sinx－cosx，即|sinx－cosx|＝sinx－cosx，∴sinx≥cosx.结合三角函数图象，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴实数x的取值范围是(k∈Z)．全称命题与存在性命题的应用典例　f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x∈[－1,2]，使f(x1)＝g(x)，则a的取值范围是(　　)A.B.C．[3，＋∞)D．(0,3)答案　C解析　由于函数f(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x)，因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，n则有即a≥3.[素养评析]　(1)本例通过对抽象的数学符号任意与存在的理解，可转化为两函数值域之间的关系.(2)将抽象的数学符号语言具体化，是解决数学问题的基本思路，有利于提升学生的数学抽象素养.1．下列命题中，不是全称命题的是(　　)A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数答案　D解析　D选项是存在性命题．2．下列命题中的假命题是(　　)A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N＋，(x－1)2>0C．∃x∈(0，＋∞)，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2考点　全称命题与特称命题的综合问题题点　全称命题与特称命题的真假判断答案　B解析　当x＝1时，(x－1)2＝0，所以命题“∀x∈N＋，(x－1)2>0”为假命题．易知A，C，D中的命题均为真命题．故选B.3．若∀x∈，tanx≤m是真命题，则实数m的最小值为________．答案　1解析　∀x∈，(tanx)max＝1，∴m≥1，即m的最小值为1.4．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有的实数x都能使x2＋x＋1>0成立；(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；n(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．解　(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0，真命题．(2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解，假命题．(3)∃x，y∈Z,3x－2y＝10，真命题．(4)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数，真命题．1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2．判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．3．判定存在性命题真假的方法．代入法：在给定的集合中找到一个元素x0，使命题q(x0)为真，否则命题为假．一、选择题1．下列说法正确的个数是(　　)①命题“所有的四边形都是矩形”是存在性命题；②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称命题；③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”是存在性命题．A．0B．1C．2D．3考点　全称命题与存在性命题的综合问题题点　全称命题与存在性命题的辨析答案　C解析　只有②③正确．2．以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是(　　)A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2考点　存在性命题的真假判断题点　存在性命题的真假判断答案　Bn3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是(　　)A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数答案　D解析　A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以A是假命题；B，D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等；C是存在性命题，故选D.4．已知命题“∃x∈R，x2＋ax－4a<0”是真命题，则实数a的取值范围为(　　)A．a<－16或a>0B．a≤－16或a≥0C．－160，即a<－16或a>0.5．下列命题是真命题的是(　　)A．∀x∈R，x3≥xB．∃x∈R，x2＋1<2xC．∀xy>0，x－y≥2D．∃x，y∈R，sin(x＋y)＝sinx－siny考点　含有一个量词的命题题点　含有一个量词的命题的真假判断答案　D6．若“∀x∈，cosx≤m”是真命题，则实数m的最小值为(　　)A．－B.C．－D.考点　全称命题的真假判断题点　恒成立求参数的范围答案　B7．下列全称命题中真命题的个数为(　　)①负数没有对数；n②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．1B．2C．3D．4考点　全称命题与存在性命题的综合问题题点　全称命题与存在性命题的真假判断答案　C解析　①②③为真命题；当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题．8．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是(　　)A．a≥0B．a<0C．b≤0D．b>1答案　B解析　函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示：由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B.二、填空题9．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，既是存在性命题又是真命题的是________．(填上所有满足要求的序号)答案　①②③　④⑤解析　①是全称命题，是真命题；②是全称命题，是真命题；③是全称命题，即任意一个正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在量词“有的”，是存在性命题，是真命题；⑤是存在性命题，是真命题；⑥是存在性命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.10．给出下列命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2xn－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案　0解析　∵对于方程f(x)＝x2－3x＋2，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；不存在x∈R，x2＋1＝0，∴③为假命题；4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．11．若命题“关于x的不等式ax2－2ax－3>0有解”是真命题，则实数a的取值范围是________．考点　存在性命题题点　由存在性命题的真假求参数的范围答案　(－∞，－3)∪(0，＋∞)解析　由题意可得a>0或解得a>0或a<－3.三、解答题12．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，然后用符号表示，并判断其真假．(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)至少有一个整数x，使log2x>0；(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(4)存在实数x，使得＝2.考点　题点　解　(1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1”，是真命题．(2)是存在性命题，用符号表示为“∃x∈Z，log2x>0”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．(4)是存在性命题，用符号表示为“∃x∈R，使得＝2”，是假命题．13．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p和qn都是真命题，求实数a的取值范围．解　∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1.∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1.又p和q都为真，∴∴a≤－2或a＝1.14．不等式组的解集记为D.有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中真命题是(　　)A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3考点　含一个量词的命题题点　含有一个量词的命题的真假判断答案　C解析　画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.15．若命题“∃a∈[1,3]，使ax2＋(a－2)x－2>0”是真命题，求实数x的取值范围．考点　存在性命题题点　由存在性命题的真假求参数的范围解　令f(a)＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，是关于a的一次函数，由题意，得(x2＋x)－2x－2>0或(x2＋x)·3－2x－2>0，即x2－x－2>0或3x2＋x－2>0，解得x<－1或x>.n