2020版高中数学第一章解三角形1.2应用举例（第1课时）高度、距离问题学案新人教b版 14页

第1课时　高度、距离问题学习目标　1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一　实际应用问题中的有关术语1．铅垂平面与地面垂直的平面．2．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．3．视角观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼光心处形成的角．知识点二　测量方案测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量某楼高．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．1．已知三角形的三个角，能够求其三条边．(　×　)2．两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解．(　√　)3．两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解．(　√　)题型一　测量高度问题例1　如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别n为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)A．10mB．5mC．5(－1)mD．5(＋1)m答案　D解析　方法一　设AB＝xm，则BC＝xm.∴BD＝(10＋x)m.∴tan∠ADB＝＝＝.解得x＝5(＋1)．∴A点离地面的高AB等于5(＋1)m.方法二　∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC＝·sin30°＝m，∴AB＝ACsin45°＝5(＋1)m.反思感悟　利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练1　江岸边有一炮台C高30m，江中有两条船B，A，船与炮台底部D在同一直线上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，则两条船相距________m.答案　30(－1)解析　在△ABC中，由题意可知AC＝＝60(m)，BC＝＝30(m)，∠ACB＝15°，AB2＝(30)2＋602－2×30×60×cos15°＝1800(2－)，所以AB＝30(－1)m.题型二　测量距离问题n例2　如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．解　在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得＝，则BC＝＝(km)．在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD为正三角形，∴AC＝CD＝(km)．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝＋－2×××＝，∴AB＝(km)．∴河对岸A，B两点间的距离为km.反思感悟　测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．跟踪训练2　要测量河对岸两地A，B之间的距离，在岸边选取相距100米的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求A，B两地的距离．解　如图在△ACD中，∠CAD＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC＝CD＝100(米)．在△BCD中，∠CBD＝180°－(45°＋75°)＝60°，n由正弦定理得BC＝＝200sin75°(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(100)2＋(200sin75°)2－2×100×200sin75°cos75°＝1002×＝1002×5，∴AB＝100(米)．∴河对岸A，B两点间的距离为100米．三角测量中的数学抽象典例　如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.求索道AB的长．解　在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由＝，得AB＝·sinC＝×＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.[素养评析]　数学抽象指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象．在本例中，我们舍去A，B，C三处的景致、海拔、经度、纬度等非本质属性，得到纯粹的三个点，舍掉步行、乘缆车、速度等表征，直接抽象出线段AC，AB的长，都属于数学抽象.1．如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(　　)nA．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γ答案　D解析　由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC.故选D.2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在A所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．50mB．50mC．25mD.m答案　A解析　∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50m.3．如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是________．答案　4解析　由余弦定理，得x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4(舍负)．4．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.n答案　7解析　因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，整理得cosD＝－，代入得AC2＝32＋52－2×3×5×＝49，故AC＝7.1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．2．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.一、选择题1．海上有A，B两个小岛相距10nmile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)A．10nmileB.nmileC．5nmileD．5nmile答案　D解析　在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°.n由正弦定理得＝，∴＝，解得BC＝5(nmile)．2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．12mB．8mC．3mD．4m答案　D解析　由题意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理，得＝，即AB＝＝＝4.3．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为(　　)A．200mB．300mC．400mD．100m答案　B解析　方法一　如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600m，BC＝DC＝200m.在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝＝，又∵0°＜2θ＜180°，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200×＝300(m)，故选B.方法二　由于△BCD是等腰三角形，BD＝DCcos2θ，n即300＝200cos2θ，∴cos2θ＝，又0°＜2θ＜180°，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200×＝300(m)，故选B.4．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A－C－B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1km)(参考数据：≈1.41，≈1.73)(　　)A．3.4kmB．2.3kmC．5.1kmD．3.2km答案　A解析　过点C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt△CAD中，∠A＝30°，AC＝10km，CD＝AC·sin30°＝5(km)，AD＝AC·cos30°＝5(km)．在Rt△BCD中，∠B＝45°，BD＝CD＝5(km)，BC＝＝5(km)．AB＝AD＋BD＝(5＋5)(km)，AC＋BC－AB＝10＋5－(5＋5)＝5＋5－5≈5＋5×1.41－5×1.73＝3.4(km)．5．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为(　　)A．15mB．5mC．10mD．12mn答案　C解析　如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．6．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔在这次测量中的高度是(　　)A．100mB．400mC．200mD．500m答案　D解析　由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h，在Rt△ABD中，由已知得BD＝h，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD，即3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500或h＝－250(舍)．二、填空题n7.如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点之间的距离是______．答案　20米解析　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝＝40.在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝＝20.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC×AC×cos∠BCA＝(40)2＋(20)2－2×40×20cos60°＝2400，∴AB＝20，故A，B两点之间的距离为20米．8．如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为________m.答案　60解析　在△ABC中，∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB＝120(m)．如图，作CD⊥AB，垂足为D，则CD即为河的宽度．由正弦定理得＝，n∴＝，∴CD＝60，∴河的宽度为60m.9．地平面上一旗杆设为OP，为测得它的高度h，在地平面上取一基线AB，AB＝200m，在A处测得P点的仰角为∠OAP＝30°，在B处测得P的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，则旗杆的高h为________m.答案　解析　如图．OP＝h，∠OAP＝30°，∠OBP＝45°，∠AOB＝60°，AB＝200m.在△AOP中，∵OP⊥OA，∴∠AOP＝90°，则OA＝＝h，同理，在△BOP中，∠BOP＝90°，且∠OBP＝45°，∴OB＝OP＝h.在△OAB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，即2002＝3h2＋h2－2h2·cos60°，解得h＝.10.我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和点D处，已知CD＝6km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，则我炮兵阵地到目标的距离为________km.答案　解析　在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，∠ACD＝45°，根据正弦定理，有AD＝＝CD，n同理，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，∠BCD＝30°，根据正弦定理，有BD＝＝CD，在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，根据勾股定理，有AB＝＝CD＝CD＝，所以我炮兵阵地到目标的距离为km.三、解答题11．如图所示，在高出地面30m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60m的地面上取一点A，若测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度．解　设CD＝xm，∠BAC＝α，则在△ABC中，tanα＝＝.∵∠DAB＝45°＋α，tan∠DAB＝＝＝tan(45°＋α)，又tan(45°＋α)＝＝3，∴＝3，解得x＝150.∴电视塔的高度为150m.12.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由A点开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB＝4dm，AD＝17dm，∠BAD＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？n解　设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，连接BC，如图所示，设BC＝xdm，由题意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝.所以AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－(dm)(舍去)．所以该机器人最快可在线段AD上离A点7dm的点C处截住足球．13．如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60m，则河流的宽度BC是(　　)A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m答案　C解析　由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120(－1)(m)．14.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20km，C，D相距34km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8s后B市感到地表震动，20s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km.求震中A到B，C，D三市的距离．n解　在△ABC中，由题意得AB－AC＝1.5×8＝12(km)．在△ACD中，由题意得AD－AC＝1.5×20＝30(km)．设AC＝xkm，AB＝(12＋x)km，AD＝(30＋x)km.在△ABC中，cos∠ACB＝＝＝，在△ACD中，cos∠ACD＝＝＝.∵B，C，D在一条直线上，∴＝－，即＝，解得x＝.∴AB＝km，AD＝km.即震中A到B，C，D三市的距离分别为km，km，km.