2020版高中数学章末检测试卷（二）新人教b版选修 9页

章末检测试卷(二)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案　D解析　∵y2＝8x的焦点坐标是(2,0)，∴双曲线－y2＝1的半焦距c＝2，又虚半轴长b＝1且a>0，∴a＝＝，∴双曲线的渐近线方程是y＝±x.2．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|＝4，则|PF2|等于(　　)A．22B．21C．20D．13答案　A解析　由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝26，又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝26－4＝22.3．已知双曲线x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)A.B.C.D．(，0)答案　C解析　将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，∴c＝，故右焦点坐标为.4．设F1和F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是等边三角形n的三个顶点，则双曲线的离心率为(　　)A.B．2C.D．3答案　B解析　由tan＝＝，有3c2＝4b2＝4(c2－a2)，则e＝＝2，故选B.5．若双曲线－＝1的渐近线与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r的值为(　　)A．4B．3C．2D.答案　D解析　因为双曲线的渐近线为y＝±x，即x±y＝0，已知圆的圆心为(4,0)，利用直线与圆相切，得到d＝＝＝r，故选D.6．若抛物线x2＝2py的焦点与椭圆＋＝1的下焦点重合，则p的值为(　　)A．4B．2C．－4D．－2答案　D解析　椭圆＋＝1的下焦点为(0，－1)，即为抛物线x2＝2py的焦点，∴＝－1，∴p＝－2.7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到较近的焦点的距离为1，则该双曲线的方程为(　　)A．x2－y2＝1B．x2－＝1C．x2－＝1D.－y2＝1答案　B解析　由题意，知＝2，c－a＝1，∴c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3，∴所求双曲线的方程为x2－＝1.n8．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　　)A．1条B．2条C．3条D．4条答案　C解析　当直线l交双曲线于左右两支时，因为2a＝2，而|AB|＝4，故可有2条，若直线l交双曲线于同支，当直线l垂直于x轴时，|AB|＝4，故只有1条，所以满足条件的直线有3条．9．已知双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则＝，即＝，∴a＝3，半焦距c＝＝，∴e＝＝，故选D.10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1(m>0，n>0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是(　　)A.B.C.D.答案　D解析　由题意可得解得＝，∴e＝＝.11．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)A．2B．3C．6D．8答案　C解析　由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，n则·＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝x＋x0＋y.∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.∴·＝x＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.∵－2≤x0≤2，∴·的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.12．已知拋物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1(a>0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于(　　)A.B.C.D.答案　A解析　拋物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，由拋物线的定义可得5＝1＋，得p＝8，即y2＝16x，M(1,4)．双曲线－y2＝1的左顶点为A(－，0)，渐近线方程为y＝±x，直线AM的斜率为.由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得＝，解得a＝，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.答案　2解析　设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2，∴x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为________________．答案　3x2－y2＝1解析　由题意可得e＝＝2，则c＝2a，设其一焦点为F(c,0)，渐近线方程为bx±ay＝0，n那么d＝＝＝b＝1，而c2＝4a2＝a2＋b2，解得a2＝，则所求的双曲线方程为3x2－y2＝1.15．已知直线l：x－y－m＝0经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，l与C交于A，B两点．若|AB|＝6，则p的值为________．答案　解析　因为直线l过抛物线的焦点，所以m＝，由得x2－3px＋＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，∴p＝.16．若等轴双曲线C的左顶点A、右顶点B分别为椭圆＋y2＝1(a>0)的左、右焦点，点P是双曲线上异于A，B的点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝________.考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题题点　直线与圆锥曲线的综合问题答案　1解析　依题意，椭圆＋y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为A(－a,0)，B(a,0)，所以以A，B分别为左、右顶点的等轴双曲线C的方程为x2－y2＝a2.设双曲线上异于A，B的点P的坐标为(x，y)，则直线PA，PB的斜率分别为k1＝，k2＝，所以k1k2＝×＝＝1.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．解　(1)当焦点在x轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．n∵离心率e＝，∴＝.又∵a2＝b2＋c2，∴a＝3b.又∵椭圆经过点P(3,0)，∴＋＝1，∴a2＝9，b2＝1.∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)当焦点在y轴上时，设其方程为＋＝1(a>b>0)．同理可得a＝3b.又∵椭圆经过点P(3,0)，∴＋＝1，∴b2＝9，∴b＝3，a＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1.综上，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.18．(12分)已知直线y＝x－4被抛物线y2＝2mx(m≠0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．解　设直线与抛物线的交点为(x1，y1)，(x2，y2)．由得x2－2(4＋m)x＋16＝0，所以x1＋x2＝2(4＋m)，x1x2＝16，所以弦长为＝＝2.由2＝6，解得m＝1或m＝－9.经检验，m＝1或m＝－9均符合题意．所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－18x.19．(12分)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且线段AB恰好被点P(2,2)平分．(1)求直线l的方程；(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由．考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题题点　直线与圆锥曲线的综合问题n解　(1)由题意可得直线AB的斜率存在，且不为0.设直线AB：x－2＝m(y－2)，代入抛物线方程可得y2－8my＋16m－16＝0.判别式Δ＝(－8m)2－4(16m－16)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＋y2＝8m，由8m＝4，得m＝，代入判别式大于0成立．所以直线l的方程为2x－y－2＝0.(2)假设C，D两点存在，则可设lCD：y＝－x＋n，与抛物线y2＝8x联立，消去y得x2－(n＋8)x＋n2＝0，其中Δ＝(n＋8)2－n2＝16n＋64>0，则n>－4.(*)又xC＋xD＝4(n＋8)，所以CD的中点为(2(n＋8)，－8)，代入直线l的方程，得n＝－，不满足(*)式．所以满足题意的C，D两点不存在．20．(12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．解　(1)因为＝，且c＝，所以a＝，b＝＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意知P(0，t)(－1b>0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴的一个端点A，短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.(1)求椭圆的离心率；(2)设Q是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求∠F1QF2的取值范围．解　(1)依题意知点F1的坐标为(－c,0)，设M点坐标为(－c，y)．若A点坐标为(－a,0)，则B点坐标为(0，－b)，则直线AB的斜率k＝.则有＝，∴y＝.①又∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.②由①②得＝，∴＝，即椭圆的离心率为.(2)①当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F1QF2＝0.②当点Q与椭圆长轴的端点不重合时，设|QF1|＝m，|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ，则m＋n＝2a，|F1F2|＝2c.在△F1QF2中，cosθ＝＝＝－1≥－1＝0.当且仅当m＝n时，等号成立，∴0≤cosθ≤1，又∵θ∈(0，π)，∴θ∈.综上，∠F1QF2的取值范围是.n22．(12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解　(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，∴b＝2，又＝，a2＝b2＋c2，∴a＝4，c＝2，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)斜率为定值．理由如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵∠APQ＝∠BPQ，∴直线PA，PB的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－＝k(x－2)，联立消去y，得(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，∴x1＋2＝，同理可得x2＋2＝＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝，∴kAB＝＝＝，即直线AB的斜率为定值.