2020版高中数学章末检测试卷三新人教b版 8页

章末检测试卷(三)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列导数运算正确的是(　　)A.′＝1＋B．(2x)′＝x2x－1C．(cosx)′＝sinxD．(xlnx)′＝lnx＋1答案　D解析　根据导数的运算公式可得′＝1－，故A错误；(2x)′＝2xln2，故B错误；(cosx)′＝－sinx，故C错误；(xlnx)′＝lnx＋1，故D正确．2．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝.3．已知函数f(x)＝x2＋f′(2)(lnx－x)，则f′(1)等于(　　)A．1B．2C．3D．4答案　B解析　∵f′(x)＝2x＋f′(2)，∴f′(2)＝，∴f′(x)＝2x＋，∴f′(1)＝2.4．若函数y＝a(x3－x)的单调递增区间是，，则a的取值范围是(　　)A．a>0B．－11D．00的解集为，，∴a>0.5．如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令nh(x)＝xf(x)，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是(　　)A．2B．1C．－1D.答案　B解析　由题图可知曲线的切线经过点(1,2)，则k＋3＝2，得k＝－1，即f′(1)＝－1，且f(1)＝2.∵h(x)＝xf(x)，∴h′(x)＝f(x)＋xf′(x)，则h′(1)＝f(1)＋f′(1)＝2－1＝1，故选B.6．对于实数集R上的可导函数f(x)，若满足(x2－3x＋2)·f′(x)<0，则当x∈[1,2]时必有(　　)A．f(1)≤f(x)≤f(2)B．f(x)≤f(1)C．f(x)≥f(2)D．f(x)≤f(1)或f(x)≥f(2)答案　A解析　因为(x2－3x＋2)f′(x)<0，所以或故当x∈[1,2]时，f(x)为增函数，有f(1)≤f(x)≤f(2)．7．已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为(　　)A．－B.C．－2D．2答案　A解析　∵f′(x)＝3ax2＋b＋2xln2＞0，∴f(x)在[0,1]，[－1,0]上都为增函数，n当x∈[0,1]时，f(x)max＝f(1)＝a＋b＋2＝4，∴a＋b＝2，当x∈[－1,0]时，f(x)min＝f(－1)＝－(a＋b)＋2－1＝－2＋＝－.8．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　)A．e2B．ln2C.D．e答案　D解析　∵f′(x)＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝1＋lnx，∴f′(x0)＝1＋lnx0＝2，∴lnx0＝1，∴x0＝e.9．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　C解析　因为y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又因为其图象过原点，故顶点在第三象限．10．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，则不可能的是(　　)考点　函数变化的快慢与导数的关系题点　根据原函数图象确定导函数图象答案　D解析　根据原函数单调递增部分对应的导函数图象应在x轴上方，而原函数单调递减部分对应的导函数图象应在x轴下方，可知D不符合．11．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上根的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3答案　B解析　设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，因为a>2，所以2a>4，所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，则f(x)在(0,2)上为减函数，又f(0)f(2)＝1×＝－4a<0，所以f(x)＝0在(0,2)上恰好有1个根，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.答案　－1解析　求导得y′＝k＋，由题意知k＋1＝0，所以k＝－1.14．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案　{a|a≥3}解析　由题意知f′(x)＝－3x2＋a≥0在区间(－1,1)上恒成立，则a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.15．若函数f(x)＝x3＋ax2－2x＋5在区间上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数a的取值范围是________．答案　解析　因为f′(x)＝3x2＋2ax－2，n由题意知f′f′<0，即<0，解得0的解集是{x|00⇔2x－x2>0⇔00，f(x)单调递增，∴f(－)是极小值，f()是极大值，故②正确．由题意知，f()为最大值，且无最小值，故③错误，④正确．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设＜a＜1，函数f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，求常数a，b.解　令f′(x)＝3x2－3ax＝0，－1≤x≤1，得x1＝0，x2＝a.f(0)＝b，f(a)＝－＋b，f(－1)＝－1－a＋b，f(1)＝1－a＋b.因为＜a＜1，所以1－a＜0，－＞－1－a，故最大值为f(0)＝b＝1，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，n所以－a＝－，所以a＝.故a＝，b＝1.18．(12分)设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，求实数a的值；(2)是否存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解　(1)因为f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知有f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9.(2)由于Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)>0，所以不存在实数a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数．19．(12分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解　(1)因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.所以切线的方程为y＝13(x－2)－6，即13x－y－32＝0.(2)因为切线与直线y＝－＋3垂直，所以切线的斜率为k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1，所以或即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，所以切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.20．(12分)已知命题p：f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数；命题q：f(x)＝x3＋ax2＋3x＋1在R上有极值．若命题“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．解　对于命题p，f′(x)＝1－.n∵f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝1－≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤x2在[1，＋∞)上恒成立，∴a≤(x2)min，∴a≤1.命题p：A＝{a|a≤1}．对于命题q，f′(x)＝3x2＋2ax＋3.要使得f(x)＝x3＋ax2＋3x＋1在R上有极值，则f′(x)＝3x2＋2ax＋3＝0有两个不相等的实数解，Δ＝4a2－4×3×3>0，解得a<－3或a>3.命题q：B＝{a|a<－3，或a>3}．∵命题“p∨q”为真命题，∴A∪B＝{a|a≤1，或a>3}．∴所求实数a的取值范围为(－∞，1]∪(3，＋∞)．21．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－lnx.(1)当a＝0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上是增函数，求实数a的取值范围．解　(1)函数的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝ax2＋2x－lnx，当a＝0时，f(x)＝2x－lnx，则f′(x)＝2－，令f′(x)＝0，得x＝，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以当x＝时，f(x)的极小值为1＋ln2，无极大值．(2)由已知，得f(x)＝ax2＋2x－lnx，且x>0，n则f′(x)＝ax＋2－＝.若a＝0，由(1)中f′(x)≥0，得x≥，显然不符合题意；若a≠0，因为函数f(x)在区间上是增函数，所以f′(x)≥0对x∈恒成立，即不等式ax2＋2x－1≥0对x∈恒成立，即a≥＝－＝2－1对x∈恒成立，故a≥max.而当x＝时，函数2－1的最大值为3，所以实数a的取值范围为[3，＋∞)．22．(12分)已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.(1)设a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若a>，且当x∈[1,4a]时，f(x)≥a3－12a恒成立，试确定a的取值范围．解　(1)当a＝1时，f(x)＝x3－3x2－9x＋1，则f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.当x<－1时，f′(x)>0；当－13时，f′(x)>0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．(2)因为f′(x)＝3x2－6ax－9a2＝3(x＋a)(x－3a)，a>，所以当1≤x<3a时，f′(x)<0；当3a0.所以当x∈[1,4a]时，f(x)的最小值为f(3a)＝－26a3.由f(x)≥a3－12a在[1,4a]上恒成立，得－26a3≥a3－12a，解得－≤a≤.又a>，所以