江苏省2019届高考数学二轮复习专题一三角1.4大题考法—三角函数讲义 14页

第四讲大题考法——三角函数题型(一)结合三角函数定义进行化简求值主要考查以三角函数定义为背景的三角函数的化简和求值问题.[典例感悟][例1]　如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB＝.(1)求cosβ的值；(2)若点A的横坐标为，求点B的坐标．[解]　(1)在△AOB中，cos∠AOB＝＝＝，即cosβ＝.(2)因为cosβ＝，β∈，所以sinβ＝＝.因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得cosα＝，因为α为锐角，所以sinα＝＝.所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.所以点B.[方法技巧]结合三角函数定义化简求值问题的解题策略n(1)利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)当求角α的终边上点的坐标时，要根据角的范围，结合三角公式进行求解．(3)同角三角函数间的关系应注意正确选择公式，注意公式应用的条件．[演练冲关]如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，x轴正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.(1)求tan的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由条件得cosα＝，cosβ＝，α、β为锐角，故sinα>0且sinα＝.同理可得sinβ＝，∴tanα＝7，tanβ＝.∴tan(α＋β)＝＝＝－3.∴tan＝tan＝＝－.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝－1，∵0<α<，0<β<，∴0<α＋2β<，从而α＋2β＝.n题型(二)三角函数求值问题主要考查在给定三角函数值的条件下，求其他角的三角函数值或角.[典例感悟][例2]　(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解]　(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，所以tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.[方法技巧]三角函数求值问题的类型及解题方法给式求值n给出某些式子的值，求其他式子的值．解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式给值求值给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式给值求角解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图象、诱导公式求角[演练冲关]1．已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1)，且a，b共线，其中θ∈.(1)求tan的值；(2)若5cos(θ－φ)＝3cosφ，0＜φ＜，求φ的值．解：(1)由a∥b，得sinθ＝2cosθ.因为θ∈，所以cosθ≠0，所以tanθ＝2.所以tan＝＝－3.(2)由(1)知tanθ＝2，又因为θ∈，所以sinθ＝，cosθ＝.由5cos(θ－φ)＝3cosφ，得5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝3cosφ，即cosφ＋2sinφ＝3cosφ，从而tanφ＝1.因为0＜φ＜，所以φ＝.2．(2018·南通二调)已知sin＝，α∈.(1)求cosα的值；(2)求sin的值．n解：(1)因为α∈，所以α＋∈，又sin＝，所以cos＝－＝－＝－.所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝－.(2)因为α∈，cosα＝－，所以sinα＝＝＝.所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.所以sin＝sin2αcos－cos2αsin＝×－×＝－.题型(三)向量与三角函数的结合主要考查以向量为载体的三角函数性质的综合应用问题.[典例感悟]n[例3]　(2017·江苏高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．[解]　(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cosx＝3sinx.则tanx＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx＝2cos.因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos≤.于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.[方法技巧]平面向量与三角函数综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立的条件，得到三角函数的关系式，然后求解；(2)给出用三角函数表示的向量坐标，求解的是向量的模或者其他向量的表达式，经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等．[演练冲关]1．已知向量a＝(sinx，cosx)，b＝，函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α∈且cos＝，求f(α)．解：(1)f(x)＝sinxcos＋1＝sinxcosx－sin2x＋1n＝sin2x＋cos2x＋＝sin＋，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)f(α)＝sin＋＝sincos＋，∵cos＝且α∈，∴sin＝，∴f(α)＝＋.2．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0＜α＜x＜π.(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．解：(1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝，∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinx·cosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosx，则2sinxcosx＝t2－1，且－1＜t＜.则y＝f(x)＝t2＋t－1＝2－，－1＜t＜.∴t＝－时，ymin＝－，此时sinx＋cosx＝－.由于＜x＜π，故x＝.n∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.(2)∵a与b的夹角为，∴cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．∵0＜α＜x＜π，∴0＜x－α＜π，∴x－α＝.∵a⊥c，∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0，∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，即sin＋2sin2α＝0.∴sin2α＋cos2α＝0，∴tan2α＝－.[课时达标训练]A组——大题保分练1．(2018·南通模拟)已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α∈，β∈.(1)求sin2α的值；(2)求cos(α－β)的值．解：(1)∵α∈，∴2α∈.∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝＝.(2)∵α∈，β∈，∴α＋β∈(0，π)，又cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝×＋×＝.2．设函数f(x)＝6cos2x－2sinxcosx.n(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)＝0且b＝2，cosA＝，求a和sinC的值．解：(1)因为f(x)＝6×－sin2x＝3cos2x－sin2x＋3＝2cos＋3，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，f(x)的值域为[3－2，3＋2]．(2)由f(B)＝0，得cos＝－.因为B为锐角，所以<2B＋<，所以2B＋＝，所以B＝.因为cosA＝，A∈(0，π)，所以sinA＝＝.在△ABC中，由正弦定理得a＝＝＝.sinC＝sin(π－A－B)＝sin＝cosA＋sinA＝.3.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，直线x＝，x＝是其相邻的两条对称轴．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f＝－，且＜α＜，求cosα的值．解：(1)由题意知，＝－＝，所以T＝π.又T＝，所以ω＝2，n所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．因为点在函数图象上，所以2sin＝2，即sin＝1.因为－＜φ＜，即－<＋φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.(2)由f＝－，得sin＝－.因为＜α＜，所以π＜α＋＜，所以cos＝－＝－.所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝－.4．在平面直角坐标系xOy中，若角α，β的顶点都为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，角α的终边经过点P，角β的终边经过点Q(sin2θ，－1)，且·＝－.(1)求cos2θ的值；(2)求tan(α＋β)的值．解：(1)由·＝－，得sin2θ－cos2θ＝－，∴sin2θ＝2cos2θ－1，即＝cos2θ，解得cos2θ＝.(2)由(1)，知sin2θ＝＝，则cos2θ＝，n得P，Q，∴tanα＝，tanβ＝－3，故tan(α＋β)＝＝＝－.B组——大题增分练1．已知coscos＝－，α∈.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－的值．解：(1)cos·cos＝cos·sin＝sin＝－，即sin＝－.∵α∈，∴2α＋∈，∴cos＝－，∴sin2α＝sin＝sincos－cossin＝.(2)∵α∈，∴2α∈，又由(1)知sin2α＝，∴cos2α＝－.∴tanα－＝－＝＝＝－2×＝2.2．已知向量a＝，b＝(cosx，－1)．n(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＝，求f(x)＋4cos的取值范围．解：(1)∵a∥b，∴cosx＋sinx＝0，∴tanx＝－.∴cos2x－sin2x＝＝＝.(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋.由正弦定理，得＝，可得sinA＝，∴A＝.∴f(x)＋4cos＝sin2x＋－.∵x∈，∴2x＋∈.∴－1≤f(x)＋4cos≤－.∴f(x)＋4cos的取值范围为.3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈[0，π))的图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x)＋f(x＋2)在x∈[－1,3]上的最大值和最小值．解：(1)由图可得A＝3，f(x)的周期为8，则＝8，即ω＝.f(－1)＝f(3)＝0，则f(1)＝3，所以sin＝1，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又φ∈[0，π)，故φ＝.综上所述，f(x)的解析式为f(x)＝3sin.(2)g(x)＝f(x)＋f(x＋2)＝3sin＋3sinn＝3sin＋3cos＝6＝6sin.当x∈[－1,3]时，x＋∈.故当x＋＝，即x＝－时，sin取得最大值1，则g(x)的最大值为g＝6；当x＋＝，即x＝3时，sin取得最小值－，则g(x)的最小值为g(3)＝6×＝－3.4.如图所示，角θ的始边OA落在x轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A，C，θ∈，△AOB为正三角形．(1)若点C的坐标为，求cos∠BOC；(2)记f(θ)＝BC2，求函数f(θ)的解析式和值域．解：(1)因为点C的坐标为，根据三角函数的定义，得sin∠COA＝，cos∠COA＝.因为△AOB为正三角形，所以∠AOB＝.所以cos∠BOC＝cos＝cos∠COAcos－sin∠COAsin＝×－×＝.(2)因为∠AOC＝θ，n所以∠BOC＝＋θ.在△BOC中，OB＝OC＝1，由余弦定理，可得f(θ)＝BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos∠BOC＝12＋12－2×1×1×cos＝2－2cos.因为0<θ<，所以<θ＋<.所以－