江苏省2019届高考数学专题七随机变量、空间向量（理）7.2运用空间向量求角达标训练 8页

运用空间向量求角A组——大题保分练1．(2018·南京学情调研)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1.(1)若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；(2)求二面角BPDA的余弦值．解：(1)以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AP＝AB＝AD＝1，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．设C(1，y,0)，则＝(1,0，－1)，＝(－1,1－y,0)．因为直线PB与CD所成角大小为，所以|cos〈，〉|＝＝，即＝，解得y＝2或y＝0(舍)，所以C(1,2,0)，所以BC的长为2.(2)设平面PBD的法向量为n1＝(x，y，z)．因为＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，则即令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝(1,1,1)．因为平面PAD的一个法向量为n2＝(1,0,0)，所以cos〈n1，n2〉＝＝，所以由图可知二面角BPDA的余弦值为.2．(2018·苏北四市期末)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1n＝2，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以{，，→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；(2)求二面角FBC1C的余弦值．解：(1)因为AB＝1，AA1＝2，则F(0,0,0)，A，C，B，E，A1，C1，所以＝(－1,0,0)，＝.记异面直线AC和BE所成角为α，则cosα＝|cos〈，〉|＝＝，所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.(2)设平面BFC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)．因为＝，＝，则即取x1＝4，得平面BFC1的一个法向量为m＝(4,0,1)．设平面BCC1的法向量为n＝(x2，y2，z2)．因为＝，＝(0,0,2)，则即取x2＝，得平面BCC1的一个法向量为n＝(，－1,0)，所以cos〈m，n〉＝＝.根据图形可知二面角FBC1C为锐二面角，所以二面角FBC1C的余弦值为.3．(2018·南京、盐城二模)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，A1C的中点．(1)求异面直线EF，AD所成角的余弦值；n(2)点M在线段A1D上，＝λ.若CM∥平面AEF，求实数λ的值．解：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD.又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形．因为E是BC的中点，所以BC⊥AE.因为BC∥AD，所以AE⊥AD.故以A为原点，AE，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，E(，0,0)，C(，1,0)，D(0，2,0)，A1(0,0,2)，F.(1)因为＝(0,2,0)，＝，所以cos〈，〉＝＝，所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为.(2)设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且＝λ，即＝λ，则(x，y，z－2)＝λ(0,2，－2)．解得M(0,2λ，2－2λ)，＝(－，2λ－1,2－2λ)．设平面AEF的法向量为n＝(x0，y0，z0)．因为＝(，0,0)，＝，所以即令y0＝2，得z0＝－1，所以平面AEF的一个法向量为n＝(0,2，－1)．由于CM∥平面AEF，则n·＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝.4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB＝AC＝1，AA1＝2，点P是棱BB1上一点，满足＝λ(0≤λ≤1)．n(1)若λ＝，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；(2)若二面角PA1CB的正弦值为，求λ的值．解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AB＝AC＝1，AA1＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1，0,2λ)．(1)由λ＝得，＝，＝(1,0，－2)，＝(0,1，－2)．设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得不妨取z1＝1，则x1＝y1＝2，从而平面A1BC的一个法向量为n1＝(2,2,1)．设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，所以直线PC与平面A1BC所成角的正弦值为.(2)设平面PA1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，又＝(1,0,2λ－2)，故由得不妨取z2＝1，则x2＝2－2λ，y2＝2，所以平面PA1C的一个法向量为n2＝(2－2λ，2,1)．则cos〈n1，n2〉＝，又二面角PA1CB的正弦值为，所以＝，化简得λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝1或λ＝－9(舍去)，故λ的值为1.B组——大题增分练n1．(2018·镇江期末)如图，AC⊥BC，O为AB中点，且DC⊥平面ABC，DC∥BE.已知AC＝BC＝DC＝BE＝2.(1)求直线AD与CE所成的角；(2)求二面角OCEB的余弦值．解：(1)因为AC⊥CB且DC⊥平面ABC，则以C为原点，CB为x轴正方向，CA为y轴正方向，CD为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AC＝BC＝BE＝2，则C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,2,0)，O(1,1,0)，E(2,0,2)，D(0,0,2)，且＝(0，－2,2)，＝(2,0,2)．所以cos〈，〉＝＝＝.所以直线AD和CE的夹角为60°.(2)平面BCE的一个法向量为m＝(0,1,0)，设平面OCE的法向量n＝(x0，y0，z0)．由＝(1,1,0)，＝(2,0,2)，得则解得取x0＝－1，则n＝(－1,1,1)．因为二面角OCEB为锐二面角，记为θ，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝＝.即二面角OCEB的余弦值为.2．(2018·江苏高考)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．解：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0，1,2)．(1)因为P为A1B1的中点，所以P，n从而＝，＝(0,2,2)，所以|cos〈，〉|＝＝＝.所以异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此＝，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取n＝(，－1,1)．设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.3.(2018·苏锡常镇调研(一))如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是矩形，PD垂直于底面ABCD，PD＝AD＝2AB，点Q为线段PA(不含端点)上一点．(1)当Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值；(2)已知二面角QBDP的正弦值为，求的值．解：以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.不妨设AB＝1，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2，1,0)，P(0,0,2)．＝(2,1,0)，＝(0,0,2)．(1)当Q是线段PA的中点时，Q(1，0,1)，＝(1，－1，1)．设平面PBD的法向量为m＝(x，y，z)．则即不妨取x＝1，解得y＝－2.则平面PBD的一个法向量为m＝(1，－2,0)．n故cos〈m，〉＝＝＝.综上，CQ与平面PBD所成角的正弦值为.(2)＝(－2,0,2)，设＝λ(λ∈(0,1))，即＝(－2λ，0,2λ)．故Q(2－2λ，0,2λ)，＝(2,1,0)，＝(2－2λ，0,2λ)．设平面QBD的法向量为n＝(x，y，z)．则即不妨取x＝1，则y＝－2，z＝1－，故平面QBD的一个法向量为n＝.由(1)得平面PBD的一个法向量m＝(1，－2,0)，由题意得cos2〈m，n〉＝＝＝＝1－2＝，解得λ＝或λ＝－1.又λ∈(0,1)，所以λ＝，所以＝，即―＝，即＝.4.如图，在四棱锥SABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，SD＝AD＝AB＝2，DC＝1.(1)求二面角SBCA的余弦值；(2)设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SAD所成角的正弦值为，求线段CP的长．解：(1)由题意，以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，1,0)，S(0,0,2)，n所以＝(2,2，－2)，＝(0,1，－2)，＝(0,0,2)．设平面SBC的法向量为n1＝(x，y，z)，则即令z＝1，得x＝－1，y＝2，所以n1＝(－1,2,1)是平面SBC的一个法向量.因为SD⊥平面ABC，取平面ABC的一个法向量n2＝(0,0,1)．设二面角SBCA的大小为θ，由图可知二面角SBCA为锐二面角，所以|cosθ|＝＝＝，所以二面角SBCA的余弦值为.(2)由(1)知E(1,0,1)，＝(2,1,0)，＝(1，－1，1)．设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ(2,1,0)＝(2λ，λ，0)，所以＝－＝(1－2λ，－1－λ，1)．易知CD⊥平面SAD，所以＝(0，－1,0)是平面SAD的一个法向量．设PE与平面SAD所成的角为α，所以sinα＝|cos〈，〉|＝＝，即＝，得λ＝或λ＝(舍去)．所以＝，||＝，所以线段CP的长为.