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- 2022-04-13 发布
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第二讲小题考法——不等式考点(一)不等式的恒成立问题及存在性问题主要考查恒成立问题或存在性问题以及等价转化思想的应用.[题组练透]1．设实数a≥1，使得不等式x|x－a|＋≥a对任意的实数x∈[1,2]恒成立，则满足条件的实数a的范围是________．解析：(1)当1≤a≤时，显然符合题意；(2)当a≥2时，原不等式可化为x(a－x)≥a－，取x＝1，成立；当x∈(1,2]时，a≥＝x＋1－.而函数f(x)＝x＋1－在(1,2]上单调递增，故a≥f(2)＝；(3)当y>0，且x＋y≤2，则＋的最小值为________．解析：法一：因为4≥2x＋2y，所以4≥[(x＋3y)＋(x－y)]＝3＋＋≥3＋2，当且仅当x＝2－1，y＝3－2时取等号，故＋的最小值为.法二：因为x>y>0，x＋y≤2，所以00，若的最大值为2，则a的值为________．解析：设z＝，则y＝x，当z＝2时，y＝－x，作出x，y满足的约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－x，易知此直线与区域的边界线2x－2y－1＝0的交点为，当直线x＝a过点时a＝，又此时直线y＝x的斜率＝－1＋的最小值为－，即z的最大值为2，符合题意，所以a的值为.答案：4．已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，则的取值范围为________．解析：因为a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，所以令＝x，＝y，得则作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．令z＝＝3x＋8y，则y＝－x＋，由图知当直线y＝－x＋过点An时，截距最大，即z最大，当直线y＝－x＋与曲线y＝相切时，截距最小，即z最小．解方程组得A(2,3)，∴zmax＝3×2＋8×3＝30，设直线y＝－x＋与曲线y＝的切点为(x0，y0)，则′x＝x0＝－，即＝－，解得x0＝3.∴切点坐标为，∴zmin＝3×3＋8×＝27，∴27≤≤30.答案：[27,30][方法技巧]解决线性规划问题的3步骤[必备知能·自主补缺](一)主干知识要记牢1．不等式的性质(1)a＞b，b＞c⇒a＞c；(2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；(3)a＞b⇒a＋c＞b＋c；(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(6)a＞b＞0，n∈N，n＞1⇒an＞bn，＞.2．简单分式不等式的解法n(1)＞0⇔f(x)g(x)＞0，＜0⇔f(x)g(x)＜0.(2)≥0⇔≤0⇔(3)对于形如＞a(≥a)的分式不等式要采取：“移项—通分—化乘积”的方法转化为(1)或(2)的形式求解．(二)二级结论要用好1．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是2．基本不等式的重要结论(1)≥(a＞0，b＞0)．(2)ab≤2(a，b∈R)．(3)≥≥(a＞0，b＞0)．3．线性规划中的两个重要结论(1)点M(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方)⇔Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)．(2)点M(x1，y1)，N(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0同侧(或异侧)⇔(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)．n[课时达标训练]A组——抓牢中档小题1．当x＞0时，f(x)＝的最大值为________．解析：因为x＞0，所以f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．答案：12．若00,b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．解析：因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时取等号．答案：27．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：因为x∈(a，＋∞)，所以2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2＋2a＝4＋2a，当且仅当x－a＝1时等号成立．由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为.答案：8．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋x＋≥≥4，故m2－3m>4，化简得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)9．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x2＋mxn－1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，只需即解得所以－0，所以tanα＝＝＝＝＝≤＝，当且仅当2tanβ＝，即tanβ＝时，等号成立．答案：12．(2018·山西八校联考)若实数x，y满足不等式组且3(x－a)＋2(yn＋1)的最大值为5，则a＝________.解析：设z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝3(x－a)＋2(y＋1)，得y＝－x＋，作出直线y＝－x，平移该直线，易知当直线过点A时，z取得最大值，由得即A(1,3)．又目标函数的最大值为5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2.答案：213．设实数x，y满足－y2＝1，则3x2－2xy的最小值是________．解析：法一：因为－y2＝1，所以3x2－2xy＝＝，令k＝∈，则3x2－2xy＝＝，再令t＝3－2k∈(2,4)，则k＝，故3x2－2xy＝＝≥＝6＋4，当且仅当t＝2时等号成立．法二：因为－y2＝1＝，所以令＋y＝t，则－y＝，从而则3x2－2xy＝6＋2t2＋≥6＋4，当且仅当t2＝时等号成立．答案：6＋414．已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是________．n解析：根据题意，作出f(x)的大致图象，如图所示．当x≤1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f(x)≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是.答案：B组——力争难度小题1．已知函数f(x)＝ax2＋x，若当x∈[0,1]时，－1≤f(x)≤1恒成立，则实数a的取值范围为________．解析：当x＝0时，f(x)＝0，不等式成立；当x∈(0,1]时，不等式－1≤f(x)≤1，即其中∈[1，＋∞)，从而解得－2≤a≤0.答案：[－2,0]2．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为________．解析：由a，b，c均为正数，abc＝4(a＋b)，得c＝＋，代入得a＋b＋c＝a＋b＋＋＝＋≥2＋2＝8，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以a＋b＋c的最小值为8.答案：83．(2018·洛阳尖子生统考)已知x，y满足约束条件则的取值范围是________．n解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，＝1＋2×，表示可行域中的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x＝0，y＝3时，取得最大值，且max＝9.因为点P(－1，－1)在直线y＝x上，所以当点(x，y)在线段AO上时，取得最小值，且min＝3.所以的取值范围是[3,9]．答案：[3,9]4．已知函数f(x)＝若存在唯一的整数x，使得＞0成立，则实数a的取值范围为________．解析：作出函数f(x)的图象如图所示，易知，点A(1,3)，B(－1,2)，C(2,0)，D(－2,8)．当a<0时，则点M(0，a)与点C，点A连线的斜率都大于0，故不符合题意；当0≤a≤2时，则仅有点M(0，a)与点A连线的斜率大于0，故符合题意；当28时，则点M(0，a)与点B，点D连线的斜率都大于0，故不符合题意．综上，实数a的取值范围为[0,2]∪[3,8]．答案：[0,2]∪[3,8]5．(2018·镇江期末)已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为________．解析：法一：(ab作为一个变元)ab≤2＝4，＋＝＝＝.设t＝9－ab≥5，则＝≤＝，当且仅当t2＝80时等号成立，n所以＋的最大值为.法二：(均值换元)因为a＋b＝4，所以令a＝2＋t，b＝2－t，则f(t)＝＋＝＋＝，令u＝t2＋5≥5，则g(u)＝＝≤＝，当且仅当u＝4时等号成立．所以＋的最大值为.答案：6．已知对任意的x∈R,3a(sinx＋cosx)＋2bsin2x≤3(a，b∈R)恒成立，则当a＋b取得最小值时，a的值是________．解析：由题意可令sinx＋cosx＝－，两边平方得1＋2sinxcosx＝，即sin2x＝－，代入3a(sinx＋cosx)＋2bsin2x≤3，解得－a－b≤3，可得a＋b≥－2，当a＋b＝－2时，令t＝sinx＋cosx＝sin∈[－，]，则sin2x＝t2－1.所以3at＋2(－a－2)(t2－1)≤3对t∈[－，]恒成立，即2(a＋2)t2－3at－2a－1≥0对t∈[－，]恒成立．记f(t)＝2(a＋2)t2－3at－2a－1，t∈[－，]．因为f＝0是f(t)的最小值，所以只能把f(t)看成以t为自变量的一元二次函数，所以解得a＝－.答案：－n
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