2020版高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和（第1课时）等差数列的前n项和公式学案 10页

第1课时　等差数列的前n项和公式学习目标　1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个.3.已知数列{an}的前n项和公式求通项an.知识点一　等差数列的前n项和1．定义：对于数列{an}，一般地，称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和．2．表示：常用符号Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.知识点二　等差数列前n项和公式等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋d知识点三　a1，d，n，an，Sn知三求二1．在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝或Sn＝na1＋d.两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和．2．依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．知识点四　数列中an与Sn的关系对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用．(2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示．n若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式．1．若数列{an}的前n项和为Sn，则S1＝a1.(　√　)2．若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N＋.(　×　)3．等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法．(　√　)4．1＋2＋3＋…＋100＝.(　√　)题型一　等差数列前n项和公式的基本运算例1　在等差数列{an}中：(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.解　(1)方法一　由已知条件得解得∴S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210.方法二　由已知条件得∴a1＋a10＝42，∴S10＝＝5×42＝210.(2)S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6.∴Sn＝＝＝＝510.∴n＝20.反思感悟　(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用．(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．跟踪训练1　在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.n解　由得解方程组得或题型二　由数列{an}的前n项和Sn求an例2　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解　根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2，n∈N＋)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－＝2n－，①当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，也满足①式．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－，n∈N＋.∵an＋1－an＝2(n＋1)－－＝2，故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列．引申探究若将本例中前n项和改为Sn＝n2＋n＋1，求通项公式．解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝2n－.①当n＝1时，a1＝S1＝12＋＋1＝不符合①式．∴an＝反思感悟　已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示，不符合则分段表示．跟踪训练2　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.解　当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝3n－3n-1＝2·3n-1.n当n＝1时，代入an＝2·3n-1得a1＝2≠3.∴an＝题型三　等差数列在实际生活中的应用例3　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解　设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5，…a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5，即第10个月应付款55.5元．由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S20＝×20＝1105，即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．反思感悟　建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．跟踪训练3　甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解　(1)设n分钟后两人第1次相遇，由题意，得2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去)．所以第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n分钟后第2次相遇，由题意，n得2n＋＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－420＝0.解得n＝15，n＝－28(舍去)．所以第2次相遇是在开始运动后15分钟.1．已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于(　　)A．2300B．2400C．2600D．2500答案　D解析　由am＝a1＋(m－1)d，得99＝1＋(m－1)×2，解得m＝50，所以S50＝50×1＋×2＝2500.2．记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于(　　)A．2B．3C．6D．7答案　B解析　方法一　由解得d＝3.方法二　由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________.答案　190解析　S19＝＝＝19a10＝19×10＝190.4．已知数列{an}是等差数列，Sn是它的前n项和．若S4＝20，a4＝8，则S8＝________.答案　72解析　设{an}的公差为d，则由解得a1＝d＝2，∴S8＝8×2＋×2＝72.5．已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，则an＝________.答案　3(n＋1)(n∈N＋)解析　由a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，①当n≥2，n∈N＋时，得a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)，②n①－②，得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，∴an＝3(n＋1)(n≥2，n∈N＋)．又当n＝1时，a1＝1×2×3＝6也适合上式，∴an＝3(n＋1)，n∈N＋.1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N＋)．3．由Sn与an的关系求an主要使用an＝一、选择题1．在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则该数列的前9项和S9等于(　　)A．18B．27C．36D．45答案　C解析　S9＝(a1＋a9)＝(a2＋a8)＝36.2．在－20与40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为(　　)A．200B．100C．90D．70答案　B解析　S10＝＝100.3．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an-1＋(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于(　　)A．27B.C．45D．－9答案　An解析　由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.4．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为(　　)A．10000B．8000C．9000D．11000答案　A解析　由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为S100＝＝50×(25＋75＋100)＝10000.5．在等差数列{an}中，若S10＝4S5，则等于(　　)A.B．2C.D．4答案　A解析　由题意得10a1＋×10×9d＝4，∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴＝.6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)A．765B．665C．763D．663答案　B解析　∵a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.7．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于(　　)A．－9B．－11C．－13D．－15答案　D解析　由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝＝＝＝－15.8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n(n∈N＋)，则a2＋a18等于(　　)nA．36B．35C．34D．33答案　C解析　方法一　a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.∴a2＋a18＝34.方法二　易知{an}为等差数列．∴a2＋a18＝a1＋a19，S19＝＝192－2×19，∴a1＋a19＝34，即a2＋a18＝34.二、填空题9．在等差数列{an}中，an＝2n＋3，n∈N＋，前n项和Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，则a－b＋c＝________.答案　－3解析　因为an＝2n＋3，所以a1＝5，Sn＝＝n2＋4n，与Sn＝an2＋bn＋c比较，得a＝1，b＝4，c＝0，所以a－b＋c＝－3.10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200·，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝________.答案　100解　因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，所以a1＋a200＝1，所以S200＝＝100.11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.答案　15解析　设等差数列的公差为d，则S3＝3a1＋d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5d＝8.由解得故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.三、解答题12．在等差数列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8；n(2)已知a2＋a4＝，求S5.解　(1)方法一　∵a6＝10，S5＝5，∴解得∴a8＝a6＋2d＝16.方法二　∵S6＝S5＋a6＝15，∴15＝，即3(a1＋10)＝15.∴a1＝－5，d＝＝3.∴a8＝a6＋2d＝16.(2)方法一　∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，∴a1＋2d＝.∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24.方法二　∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝，∴S5＝＝×＝24.13．已知数列{an}的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn＝a＋an－(n∈N＋)．(1)证明：{an}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明　当n＝1时，a1＝S1＝a＋a1－，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝(a＋2an－3)－(a＋2an－1－3)．所以4an＝a－a＋2an－2an-1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.因为an＋an-1>0，所以an－an-1＝2(n≥2)．所以数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)解　由(1)知an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，n∈N＋.14．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为________．n答案　10解析　钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴当n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．15．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.解　(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．又公差d>0，∴a3