2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程学案新人教b版 12页

2．3.1　抛物线及其标准方程学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程的求法.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点一　抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．知识点二　抛物线的标准方程图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦点坐标准线方程x＝－x＝y＝－y＝1．在平面内，点P到点F和到直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)2．抛物线其实就是双曲线的一支．(　×　)3．抛物线的标准方程只需焦点到准线的距离p就可以确定．(　×　)题型一　求抛物线的标准方程例1　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．考点　抛物线的标准方程n题点　求抛物线的方程解　(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.反思感悟　求抛物线的标准方程的方法定义法根据定义求p，最后写标准方程待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程注意　当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．跟踪训练1　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.考点　抛物线的标准方程n题点　求抛物线的方程解　(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.题型二　抛物线定义的应用命题角度1　利用抛物线定义求轨迹(方程)例2　若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．考点　题点　解　由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．反思感悟　解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．跟踪训练2　已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．考点　抛物线的定义题点　抛物线定义的直接应用解　设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，n∴＝3，∴p＝6，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.命题角度2　利用抛物线定义求最值或点的坐标例3　如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P(x0，y0)是抛物线上一点．(1)若|PF|＝x0，求x0；(2)已知点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．考点　求抛物线的最值问题题点　根据抛物线定义转换求最值解　(1)由题意知抛物线的准线为x＝－，根据抛物线的定义可得，x0＋＝|PF|＝x0，解得x0＝2.(2)如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.∵>2，∴A在抛物线内部．由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为.即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x0＝2.∴点P坐标为(2,2)．引申探究若将本例中的点A(3,2)改为点(0,2)，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．n解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P点，(0,2)点和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝＝.反思感悟　抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪训练3　抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．考点　抛物线的定义题点　抛物线定义的直接应用解　设焦点为F，M点到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即9＋＝10，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6.∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．抛物线的实际应用问题典例　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高0.75m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？考点　抛物线的标准方程题点　抛物线方程的应用解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．n设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航．[素养评析]　首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为：(1)建系：建立适当的坐标系．(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．(4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2答案　A解析　由y＝x2，得x2＝4y，则抛物线的焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－＝－1.2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线方程为n(　　)A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝±8x答案　D解析　由题意知抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)A．4B．2C．1D．8答案　C解析　如图，F，过A作AA′⊥准线l，∴|AF|＝|AA′|，∴x0＝x0＋＝x0＋，∴x0＝1.4．若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离少1，则动点P的轨迹方程是________．考点　抛物线的定义题点　由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案　y2＝16x解析　∵点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离少1，∴点P到直线x＝－4的距离和它到点(4,0)的距离相等．根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，∴＝4，∴动点P的轨迹方程为y2＝16x.5．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，求点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值．n解　如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－.2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．一、选择题1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　)A．(2,0)B．(－2,0)C．(4,0)D．(－4,0)答案　B解析　∵y2＝－8x，∴p＝4，∴焦点坐标为(－2,0)．2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1)D．(0,1)答案　Bn解析　抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－.由题设知－＝－1，即p＝2，故焦点坐标为.故选B.3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为(　　)A.B．1C．2D．4答案　C解析　抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，它与圆相切，所以必有3－＝4，p＝2.4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)A．4B．6C．8D．12答案　B解析　由抛物线的定义可知，点P到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.5．过点F(0,3)，且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　)A．y2＝12xB．y2＝－12xC．x2＝12yD．x2＝－12y答案　C解析　由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，轨迹方程为x2＝12y.6．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)A．－B．－1C．－D．－答案　C解析　因为抛物线C：y2＝2px的准线方程为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，故＝－2，解得p＝4.所以抛物线方程为y2＝8x，焦点F的坐标为(2,0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.7．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)A．2B．2C．2D．4答案　C解析　抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，nP点的横坐标xP＝3，从而纵坐标yP＝±2.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.二、填空题8．若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝________.答案　－解析　y＝ax2可化为x2＝y.∵准线方程为y＝2，∴a<0且－＝2，∴a＝－.9．若椭圆＋＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p为________．答案　解析　由题意知，左焦点为，则c＝.∵a2＝3，b2＝，∴3＝＋，得p＝.10．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是__________．答案　解析　抛物线方程化为x2＝y，准线为y＝－.由于点M到焦点的距离为1，所以点M到准线的距离也为1，所以点M的纵坐标等于1－＝.11．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．考点　求抛物线的最值问题题点　根据抛物线定义转换求最值答案　2解析　如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离d＝＝2.n三、解答题12．已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．(1)y2＝－6x；(2)3x2＋5y＝0；(3)y2＝a2x(a≠0)．考点　抛物线的几何性质题点　与准线、焦点有关的简单几何性质解　(1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，2p＝6，p＝3，＝，所以焦点坐标为，准线方程为x＝.(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－y，知抛物线开口向下，2p＝，p＝，＝，所以焦点坐标为，准线方程为y＝.(3)由方程y2＝a2x(a≠0)知抛物线开口向右，2p＝a2，p＝，＝，所以焦点坐标为，准线方程为x＝－.13．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过－＝1的一个焦点，且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点，求抛物线和双曲线的方程．考点　抛物线的几何性质题点　抛物线与其他曲线结合的有关问题解　因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，所以可设抛物线方程n为y2＝2px(p>0)．将点代入方程，得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.准线方程为x＝－1.由此知双曲线方程中c＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点到两焦点距离之差2a＝1，所以双曲线的标准方程为－＝1.14．(2018·潍坊联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是________．考点　题点　答案　－1解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径r＝1，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和最小，为|FC|－r＝－1.15．已知曲线C上的任意一点到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等．(1)求曲线C的方程；(2)若曲线C上有两个定点A，B分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|＝2，|FB|＝5，求原点O到直线AB的距离．解　(1)因为曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，所以曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线，且＝1，所以曲线C的方程为y2＝4x.(2)由抛物线的定义结合|FA|＝2可得，A到准线x＝－1的距离为2，即A的横坐标为1，代入抛物线方程可得y＝2，即A(1,2)，同理可得B(4，－4)，故直线AB的斜率k＝＝－2，故AB的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0，由点到直线的距离公式，得原点O到直线AB的距离为＝.