2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程微专题突破二离心率的求法学案新人教b版 11页

专题突破二　离心率的求法一、以渐近线为指向求离心率例1　已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．思维切入　双曲线的两渐近线有两种情况，焦点位置也有两种情况，分别讨论即可．考点　题点　答案　2或解析　由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况．当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示．　　所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝，即＝或.又b2＝c2－a2，所以＝3或，所以e2＝4或，所以e＝2或.同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有＝或，所以＝或，亦可得到e＝或2.综上可得，双曲线的离心率为2或.点评　双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助＝进行互求．一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况)，不能忘记分类讨论．n跟踪训练1　中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)A.B.C.D.考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　D解析　由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－x，∴－2＝－·4，∴a＝2b.方法一　设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.方法二　e2＝＋1＝＋1＝，故e＝.二、以焦点三角形为指向求离心率例2　如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．思维切入　连接AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解．考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　＋1解析　方法一　如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，n则|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，从而双曲线的离心率e＝＝1＋.方法二　如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，于是离心率e＝＝＝＝＝＋1.点评　涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的值．跟踪训练2　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　方法一　如图，在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝＝，|PF2|＝2c·tan30°＝.∵|PF1|＋|PF2|＝2a，即＋＝2a，可得c＝a.∴e＝＝.方法二　(特殊值法)：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝.∴e＝＝＝.n三、寻求齐次方程求离心率例3　已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．思维切入　通过2|AB|＝3|BC|，得到a，b，c的关系式，再由b2＝c2－a2，得到a和c的关系式，同时除以a2，即可得到关于e的一元二次方程，求得e.考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　2解析　如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．点评　求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得．但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，化简为参数a，c的关系式进行求解．跟踪训练3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．考点　椭圆的离心率问题题点　求a，b，c的齐次关系式得离心率n答案　解析　在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝.因为00，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．思维切入　画图，通过图象找出直线l与双曲线渐近线斜率的关系，利用e＝求解．考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　[2，＋∞)解析　由题意知≥，即2≥3，∴e＝≥2，故离心率e的取值范围是[2，＋∞)．点评　(1)当直线与双曲线有一个公共点时，利用数形结合思想得到已知直线与渐近线斜率的关系，得到的范围，再利用e＝得到离心率的取值范围．(2)当直线与双曲线有两个公共点时，可联立方程组应用判别式Δ>0，从而可得的范围，再利用e＝即可得离心率的取值范围．跟踪训练4　设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率e的取值范围为(　　)nA.B．(，＋∞)C.D.∪(，＋∞)考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　D解析　由消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则1－a2≠0⇒a2≠1，且此时Δ＝4a2(2－a2)>0⇒a2<2，所以a2∈(0,1)∪(1,2)．另一方面，e＝，则a2＝，从而e∈∪(，＋∞)．五、利用焦半径的性质求离心率的取值范围例5　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．思维切入　→答案　(－1,1)解析　在△PF1F2中，由正弦定理知＝，因为＝，所以＝＝，即|PF1|＝e|PF2|.①又因为点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a.将①代入得|PF2|＝，n又a－c<|PF2|0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)A.B.C．2D.考点　双曲线的简单几何性质题点　求双曲线的离心率答案　B解析　∵P在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，∵|PF1|＝4|PF2|，∴4|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝a，根据点P在双曲线的右支上，可得|PF2|＝a≥c－a，∴a≥c，又∵e>1，∴10，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是(　　)nA.B．3C．2D．4考点　题点　答案　C解析　不妨设双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝2.2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是(　　)A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]考点　双曲线的离心率与渐近线题点　双曲线离心率的取值范围答案　D解析　由题意可得，双曲线渐近线的斜率≤2，所以e＝≤.又e>1，所以离心率e的取值范围是(1，]．3.如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为(　　)A.－1B．2－C.D.考点　椭圆的离心率问题题点　由a与c的关系式得离心率答案　A解析　∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，n∴|MF1|＝c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，∴椭圆离心率e＝＝－1.4．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为(　　)A．(1，＋∞)B．(＋1，＋∞)C．(1，＋1)D．(1，)考点　双曲线的几何性质题点　求双曲线离心率的取值范围答案　B解析　由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，且AF2＝BF2，只要∠AF2B为钝角即可．由题设可得AF1＝，所以有>2c，即2ac0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．考点　题点　答案　2＋解析　由双曲线的对称性，不妨设直线方程为y＝(x－c)．由得x＝.由＝2a，e＝，解得e＝2＋(e＝2－舍去)．6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|＝7|MF1|，则此双曲线的离心率的最大值为________．n考点　题点　答案　解析　因为|MF2|＝7|MF1|，所以|MF2|－|MF1|＝6|MF1|，即2a＝6|MF1|≥6(c－a)，故8a≥6c，即e＝≤，当且仅当M为双曲线的左顶点时，等号成立．故此双曲线离心率的最大值为.7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，线段PF2与圆：x2＋y2＝b2相切于点Q，若Q是线段PF2的中点，e为C的离心率，则的最小值是________．考点　直线与椭圆的位置关系题点　椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案　解析　如图，连接PF1，OQ，由OQ为△PF1F2的中位线，可得OQ∥PF1，|OQ|＝|PF1|.由圆x2＋y2＝b2，可得|OQ|＝b，则|PF1|＝2b.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，即|PF2|＝2a－2b.又OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2，即(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，n化简得2a＝3b，即b＝a.∴c＝＝a，则e＝＝.∴＝＝≥×2＝，当且仅当a＝，即a＝时等号成立，所以的最小值为.