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- 2022-04-13 发布
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专题突破一 三角形中的隐含条件解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点．由于公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是对题设中的隐含条件挖掘不够．下面结合例子谈谈在解三角形时，题目中隐含条件的挖掘．隐含条件1.两边之和大于第三边例1 已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围．解 设角A，B，C的对边分别为a，b，c.∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角．由余弦定理得cosC＝＝<0.∴k2－4k－12<0，解得－2k＋4，∴k>2，综上所述，k的取值范围为20，∴cosB<0，∴B为钝角，故△ABC为钝角三角形．3．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，则cosC＝________.答案 解析 若A为钝角，由sinA＝＜，知A＞.又由cosB＝＜.知B＞.从而A＋B＞π.与A＋B＋C＝π矛盾．∴A为锐角，cosA＝.由cosB＝，得sinB＝.∴cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)n＝－＝.4．在△ABC中，C＝120°，c＝a，则a与b的大小关系是a________b.答案 ＞解析 方法一 由余弦定理cosC＝，得cos120°＝，整理得a2＝b2＋ab＞b2，∴a＞b.方法二 由正弦定理＝，得＝，整理得sinA＝＞＝sin30°.∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴A＞30°，B＜30°，∴a＞b.5．在△ABC中，若b2＝ac，则的取值范围是________．答案 解析 设＝q，则由b2＝ac，得＝＝q.∴b＝aq，c＝aq2.由得解得＜q＜.6．在钝角△ABC中，2B＝A＋C，C为钝角，＝m，则m的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 由A＋B＋C＝3B＝π，知B＝.又C＞，∴0＜A＜，∴∈(，＋∞)．＝＝＝＝＋＞＋·＝2，∴m∈(2，＋∞)．n7．在△ABC中，若c＝，C＝，求a－b的取值范围．解 ∵C＝，∴A＋B＝π，∴外接圆直径2R＝＝＝2.∴a－b＝2RsinA－·2RsinB＝2sinA－sinB＝2sinA－sin＝sin.∵0＜A＜π，∴－＜A－＜，∴－＜sin＜1.－1＜sin＜.即a－b∈(－1，)．一、选择题1．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )A．90°B．120°C．135°D．150°答案 B解析 设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cosθ，解得cosθ＝，∵θ∈(0°，180°)，∴θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.2．在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则C等于( )A.或B.C.D.答案 C解析 由＝，得sinC＝.n∵BC＝3，AB＝，∴A>C，则C为锐角，故C＝.3．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cosB等于( )A．±B.C．－D.答案 A解析 因为＝，所以＝，解得sinB＝.因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cosB＝±.4．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )A．(2，＋∞)B．(－∞，0)C.D.答案 D解析 由正弦定理得a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，∵即∴k>.5．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为( )A.B.C.D.答案 B解析 ∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sinα＝，∴α＝120°.由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3，5，7，S△ABC＝×3×5×sin120°＝.n6．△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg且B∈，则△ABC的形状是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形答案 C解析 ∵lga－lgc＝lgsinB＝－lg，∴＝sinB，sinB＝.∵B∈，∴B＝.∴＝＝，∴sinC＝sinA＝sin＝，∴cosC＝0，∵C∈(0，π)，C＝.∴A＝π－B－C＝.∴△ABC是等腰直角三角形．故选C.7．(2017·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C等于( )A.B.C.D.答案 B解析 因为a＝2，c＝，所以由正弦定理可知，＝，故sinA＝sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝.n从而sinC＝sinA＝×＝.由A＝知，C为锐角，故C＝.故选B.二、填空题8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________.答案 1解析 因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或.又因为C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又因为a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．答案 解析 ∵bsinC＋csinB＝4asinBsinC，∴由正弦定理得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC.又sinBsinC＞0，∴sinA＝.由余弦定理得cosA＝＝＝＞0，∴cosA＝，bc＝＝，∴S△ABC＝bcsinA＝××＝.10．若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；的取值范围是________．答案 (2，＋∞)n解析 由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accosB.∵S＝(a2＋c2－b2)，∴acsinB＝×2accosB，∴tanB＝，又B∈(0，π)，∴B＝.又∵C为钝角，∴C＝－A＞，∴0＜A＜.由正弦定理得＝＝＝＋·.∵0＜tanA＜，∴＞，∴＞＋×＝2，即＞2.∴的取值范围是(2，＋∞)．三、解答题11．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，c＝，求△ABC周长的取值范围．解 由正弦定理得＝＝＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋＝2＋＝2＋＝2＋＝2sin＋.∵0B＝，而<，所以∠CDE只能为钝角，所以cos∠CDE＝－，所以cos∠DAB＝cos＝cos∠CDEcos＋sin∠CDEsin＝－×＋×＝.14．(2018·福建省三明市第一中学月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则角C等于( )A.B.或C.D.答案 D解析 在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝，即＝，n∴b2＋c2－a2＝bc，又b2＝a2＋bc，∴c2＋bc＝bc，∴c＝(－1)b
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