江苏省2019届高考数学二轮复习专题一三角1.1小题考法—三角函数、解三角形讲义 16页

专题一三角[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点1.三角化简求值(5年2考)2.三角函数的性质(5年3考)3.平面向量的数量积(5年5考)　　新高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要．三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异．三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角函数值(见2014年、2018年三角解答题)，第二类是给出在三角形中(见2015年、2016年三角解答题)，第三类是给出向量(见2017年三角解答题).偶考点1.平面向量的概念及线性运算2.正、余弦定理第一讲小题考法——三角函数、解三角形考点(一)三角化简求值　　主要考查利用三角恒等变换解决化简求值或求角问题．多涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.[题组练透]1．计算：sin50°(1＋tan10°)＝________.解析：sin50°(1＋tan10°)＝sin50°＝sin50°×＝sin50°×＝＝＝＝1.答案：12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，则2α－β的值为n________．解析：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<.又∵tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.答案：－3．已知tan＝，则cos2＝________.解析：由tan＝＝，解得tanα＝－，所以cos2＝＝＝＋sinαcosα，又sinαcosα＝＝＝－，故＋sinαcosα＝.答案：[方法技巧]1．解决三角函数求值或求角问题的关键与思路解决三角函数的求值或求角问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．n2．常见的配角技巧(1)2α＝(α＋β)＋(α－β)；(2)α＝(α＋β)－β；(3)β＝－；(4)α＝＋；(5)＝－等．3．三角函数化简的原则及结果考点(二)三角函数的性质　　主要考查三角函数的对称性、求函数的单调区间或最值(值域)，以及根据函数的单调性求参数的值或取值范围.[题组练透]1．(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．解析：由题意得f＝sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z.∵φ∈，∴φ＝－.答案：－n2．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则φ＝________.解析：函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象解析式为g(x)＝sin，由题意知，g(0)＝0，所以φ－＝kπ，即φ＝kπ＋，又因为0<φ<π，所以φ＝.答案：3．已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．解析：由＜x＜π，ω＞0，得＋＜ωx＋＜ωπ＋，又y＝sinx的单调递减区间为，k∈Z，所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，得k＝0，所以ω∈.答案：4．已知函数f(x)＝2sinsin，≤x≤，则函数f(x)的值域为________．解析：依题意，有f(x)＝2sinx－cosx·＝sinxcosx－(cos2x－sin2x)＝sin2x－cos2x＝sin，因为≤x≤，所以0≤2x－≤，从而0≤sin≤1，所以函数f(x)的值域为[0,1]．答案：[0,1]n[方法技巧]1．对于f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象平移后图象关于y轴或原点对称的两种处理方法(1)若平移后所得函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ＋θ)，要关于原点对称，则φ＋θ＝kπ；要关于y轴对称，则φ＋θ＝kπ＋.(2)利用平移后的图象关于y轴或原点对称得到原函数的对称性，再利用y＝sinx的对称性去求解．2．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．3．求解三角函数的值域的三种方法化归法在研究三角函数值域时，首先应将所给三角函数化归为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再利用换元t＝ωx＋φ，从而转化为求y＝Asint，y＝Acost或y＝Atant在给定区间上的值域换元法对于无法化归的三角函数，通常可以用换元法来处理，如y＝sinx＋cosx＋sinxcosx，可以设sinx＋cosx＝t来转化为二次函数求值域导数法对于无法化归和换元的三角函数，可以通过导函数研究其单调性和值域考点(三)正、余弦定理　　主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及面积，或考查将两个定理与三角恒等变换相结合解三角形.[题组练透]1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosA＝2c－a，则角B的大小为________．解析：法一：因为2bcosA＝2c－a，所以由余弦定理得2b·＝2c－a，即b2－a2＝c2－ac，所以cosB＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.法二：因为2bcosA＝2c－a，所以由正弦定理得2sinBcosA＝2sinC－sinA＝2sin(A＋B)－sinA＝2sinAcosB＋2cosAsinB－sinA，故2cosBsinA＝sinnA，因为sinA≠0，所以cosB＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.答案：2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA＝7tanB，＝3，则c＝______.解析：由tanA＝7tanB可得＝，即sinAcosB＝7sinBcosA，所以有sinAcosB＋sinBcosA＝8sinBcosA，即sin(A＋B)＝sinC＝8sinBcosA，由正、余弦定理可得：c＝8b×，即c2＝4b2＋4c2－4a2，又＝3，所以c2＝4c，即c＝4.答案：43．(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．解析：如图，∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，∴ac·sin120°＝c×1×sin60°＋a×1×sin60°，∴ac＝a＋c.∴＋＝1.∴4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即c＝2a时取等号．故4a＋c的最小值为9.答案：94．(2018·常熟高三期中)设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b＝acosC＋csinA且CD＝，则△ABC面积的最大值是________．解析：因为b＝acosC＋csinA，所以由正弦定理得sinB＝sinAcosC＋sinCsinA，即sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC＋sinCsinA，因为sinC≠0，所以cosA＝sinA，即tanA＝1，因为A∈(0，π)，所以A＝，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝b2＋－2b·cos，即2bc＝4b2＋c2－8≥4bc－8，所以bc≤＝4＋2，当且仅当2b＝nc时等号成立，所以S△ABC＝bcsinA＝·bc≤＋1.答案：＋1[方法技巧]1．利用正弦、余弦定理解决有关三角形问题的方法(1)解三角形问题时，要注意两个统一原则，即将“边”统一为“角”，将“角”统一为“边”．当条件或结论是既含有边又含有角的形式时，就需要将边统一为角或将角统一为边．在应用这两个原则时要注意：①若式子中含有角的余弦、边的二次式，则考虑用余弦定理进行转化；②若式子中含有角的正弦、边的一次式，则考虑用正弦定理进行转化．(2)求解与三角形相关的平面几何中的有关量时，由于图形中的三角形可能不止一个，因此，需要合理分析，确定求解的顺序，一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系求得结果，同时注意平面几何知识的应用．2．与面积、范围有关问题的求解方法(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形面积；二是给出三角形的面积，求其他量．解题时主要应用三角形的面积公式S＝absinC＝bcsinA＝acsinB，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解．另外，还要注意用面积法处理问题．(2)求与三角形中边角有关的量的取值范围问题时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法等求解，或者通过基本不等式来进行求解．在求解时，要注意题目中的隐含条件，如|b－c|0，ω>0)．②y＝sinxy＝sinωxy＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．4．三角函数的单调区间y＝sinx的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是(k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是(k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是(k∈Z)．5．三角函数的奇偶性与对称性y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．ny＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．6．正弦定理及其变形在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．7．余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝.8．三角形面积公式S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB.(二)二级结论要用好1．sinα－cosα＞0⇔α的终边在直线y＝x上方(特殊地，当α在第二象限时有sinα－cosα＞1)．2．sinα＋cosα＞0⇔α的终边在直线y＝－x上方(特殊地，当α在第一象限时有sinα＋cosα>1)．3．辅助角公式：asinα＋bcosα＝sin(α＋φ).4．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.5．△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝.6．△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列．7．S△ABC＝(R为△ABC外接圆半径)．[课时达标训练]A组——抓牢中档小题1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝________.解析：sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝.答案：n2．(2018·苏北四市期末)若函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则f的值为________．解析：因为f(x)的最小正周期为＝，所以ω＝10，所以f(x)＝sin，所以f＝sin＝sin＝－sin＝－.答案：－3．(2018·盐城期中)在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的大小为________．解析：由正弦定理及sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7知，a∶b∶c＝3∶5∶7，可设a＝3k，b＝5k，c＝7k，且角C是最大内角，由余弦定理知cosC＝＝＝－，因为0°a，所以B＝或.答案：或　6．(2018·南京、盐城一模)将函数y＝3sin的图象向右平移φn个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.解析：将函数y＝3sin的图象向右平移φ个单位后，所得函数为f(x)＝3sin，即f(x)＝3sin.因为f(x)为偶函数，所以－2φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝－－，k∈Z，因为0＜φ＜，所以φ＝.答案：7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＝a＋c，若sinB＝，cosB＝，则b的值为________．解析：∵sinB＝，cosB＝，sin2B＋cos2B＝1，∴ac＝15，又∵2b＝a＋c，∴b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－18＝(a＋c)2－48＝4b2－48，解得b＝4.答案：48．(2018·盐城三模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为，则f的值为________．解析：f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin，由题意知，T＝×2＝π＝，解得ω＝2.由函数f(x)为偶函数得，f(0)＝2sin＝±2，又因为0<φ<π，所以φ＝，f(x)＝2sin2x＋＝2cos2x，故f＝2cos＝.答案：9．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝2kπ＋π，k∈Z，所以cos(α－β)＝cos(2α－2kπ－π)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－＝－.答案：－n10．(2018·无锡期末)设函数f(x)＝sin2x－cosxcos，则函数f(x)在区间上的单调递增区间为________．解析：f(x)＝＋cosxsinx＝－cos2x＋sin2x＝sin＋.令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，－≤x≤，故f(x)在上的单调递增区间是.答案：11．(2018·南通、扬州、泰州、淮安三调)在锐角△ABC中，AB＝3，AC＝4.若△ABC的面积为3，则BC＝________.解析：因为b＝4，c＝3，由S△ABC＝bcsinA＝6sinA＝3，解得sinA＝，因为△ABC是锐角三角形，所以cosA＝＝或求出锐角A＝，再求cosA＝，在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝16＋9－2×4×3×＝13，所以a＝，即BC＝.答案：12．已知tan＝，且－<α<0，则＝________.解析：由tan＝＝，得tanα＝－.又－<α<0，所以sinα＝－.故＝＝2sinα＝－.答案：－13．已知cos＋sinα＝，则sin的值是________．n解析：由cos＋sinα＝，可得cosα＋sinα＋sinα＝，即sinα＋cosα＝，∴sin＝，sin＝，∴sin＝－sin＝－.答案：－14．(2018·苏锡常镇一模)已知sinα＝3sin，则tan＝________.解析：∵sinα＝3sin＝3sinαcos＋3cosα·sin＝sinα＋cosα，∴tanα＝.又tan＝tan＝＝＝2－，∴tan＝＝＝2－4.答案：2－4B组——力争难度小题1.如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的最小正周期是________．解析：设函数f(x)的最小正周期为T，由图象可得A，B，则·＝－3＝0，解得T＝4.n答案：42．△ABC的三个内角为A，B，C，若＝tan，则tanA＝________.解析：＝＝－＝－tan＝tan＝tan，所以－A－＝－，所以A＝－＝，所以tanA＝tan＝1.答案：13．已知α为锐角，cos(α＋)＝.则sin的值为________．解析：因为α∈，所以α＋∈，所以sin＝＝，因为sin＝sin2＝2sincos＝，cos＝cos2＝2cos2－1＝－，所以sin＝sin－＝sin·cos－cossin＝.答案：4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.解析：由图象可得A＝1，＝＝－，解得ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，将点代入函数f(x)可得0＝sin，所以＋φ＝kπ，所以φ＝knπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.因为，的中点坐标为，又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，所以x1＋x2＝×2＝，所以f(x1＋x2)＝sin＝.答案：5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积S的最大值为________．解析：由S＝absinC，得S2＝a2b2(1－cos2C)＝a2b2，∵a2＋b2＋2c2＝8，∴a2＋b2＝8－2c2，∴S2＝a2b2＝a2b2＝a2b2－≤－＝－＋c2，当且仅当a2＝b2时等号成立，由二次函数的性质可知，当c2＝时，S2取得最大值，最大值为，故S的最大值为.答案：6.(2018·南通基地卷)将函数y＝sin的图象向左平移3个单位长度，得到函数y＝sinx＋φ(|φ|<π)的图象如图所示，点M、N分别是函数f(x)图象上y轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．n解析：将函数y＝sin的图象向左平移3个单位长度，得到函数y＝sin，所以φ＝π，M(－1，)，|OM|＝2，N(3，－)，ON＝2，|MN|＝2，由余弦定理可得，cosθ＝＝－，θ＝，tan(φ－θ)＝tan＝＝－2＋.答案：－2＋