江苏省2019届高考数学专题七随机变量、空间向量（理）7.2运用空间向量求角讲义 17页

第二讲运用空间向量求角题型(一)运用空间向量求两直线所成的角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　主要考查用直线的方向向量求异面直线所成的角.[典例感悟][例1]　已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，且＝λ，PC⊥AB.(1)求λ的值；(2)求异面直线PC与AC1所成角θ的余弦值．[解]　(1)设正三棱柱的棱长为2，取AC中点O，连结OB，则OB⊥AC.以O为原点，OB，OC所在直线为x轴，y轴，过点O且平行AA1的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，所以＝(，1,0)，＝(0，－2,2)，＝(，1，－2)．因为PC⊥AB，所以·＝0，得(＋)·＝0，即(＋λ)·＝0，即(λ，－2＋λ，2－2λ)·(，1,0)＝0，解得λ＝.(2)由(1)知＝，＝(0,2,2)，cosθ＝＝，所以异面直线PC与AC1所成角θ的余弦值是.[方法技巧]1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝n(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．用向量法求异面直线所成角的四步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值．[演练冲关](2018·无锡期末)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2，E，F，G分别为BC，PD，PC的中点．(1)求EF与DG所成角的余弦值；(2)若M为EF上一点，N为DG上一点，是否存在MN，使得MN⊥平面PBC？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，∵E，F，G分别为BC，PD，PC的中点，∴E，F，G，∴＝，＝，设EF与DG所成的角为θ，则cosθ＝＝.∴EF与DG所成角的余弦值为.(2)存在MN，使得MN⊥平面PBC，理由如下：设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，∵＝(0,1,0)，＝(1,0，－1)，∴即取x＝1，得n＝(1,0,1)，若存在MN，使得MN⊥平面PBC，则∥n，设M(x1，y1，z1)，N(x2，y2，z2)，则　①n∵点M，N分别是线段EF与DG上的点，∴＝λ，＝t，∵＝，＝(x2，y2－2，z2)，∴且　②把②代入①，得解得∴M，N.故存在两点M，N，使得MN⊥平面PBC.题型(二)运用空间向量求直线和平面所成的角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考查用直线的方向向量与平面的法向量计算直线与平面所成的角.[典例感悟][例2]　(2018·苏州暑假测试)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，PA⊥平面ABCD.(1)求PB与平面PCD所成角的正弦值；(2)棱PD上是否存在一点E满足∠AEC＝90°？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．[解]　(1)如图，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，从而＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)，＝(0,2，－1)．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即不妨取z＝2，则y＝1，x＝1，所以平面PCD的一个法向量n＝(1,1,2)，n此时cos〈，n〉＝＝－，所以PB与平面PCD所成角的正弦值为.(2)设＝λ(0≤λ≤1)，则E(0,2λ，1－λ)．则＝(－1,2λ－1,1－λ)，＝(0,2λ，1－λ)，由∠AEC＝90°得·＝2λ(2λ－1)＋(1－λ)2＝0，化简得，5λ2－4λ＋1＝0，该方程无解，所以棱PD上不存在一点E满足∠AEC＝90°.[方法技巧]直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝.[演练冲关](2018·南通、泰州一调)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1(λ≠0)．(1)若λ＝，求AP与AQ所成角的余弦值；(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．解：以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，P(1,2,2)，Q(2,0,2λ)．(1)当λ＝时，＝(1,2,2)，＝(2,0,1)，所以cos〈，〉＝n＝＝.所以AP与AQ所成角的余弦值为.(2)＝(0,0,2)，＝(2,0,2λ)．设平面APQ的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝－2，则x＝2λ，y＝2－λ.所以n＝(2λ，2－λ，－2)．又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，所以|cos〈n，〉|＝＝＝，可得5λ2－4λ＝0，又因为λ≠0，所以λ＝.题型(三)运用空间向量求二面角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考查用平面的法向量计算平面与平面所成的角.[典例感悟][例3]　如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD＝1，D1D＝2，点P为棱CC1的中点．(1)设二面角AA1BP的大小为θ，求sinθ的值；(2)设M为线段A1B上的一点，求的取值范围．[解]　(1)如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，A1(1,0,2)，P(0,1,1)，B(1,1,0)．由题意可知n＝(1,0,0)为平面AA1B的一个法向量．又＝(1，－1,1)，n＝(1,0，－1)．设平面PA1B的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则即取m＝(1,2,1)为平面PA1B的一个法向量．所以cos〈n，m〉＝＝，则sinθ＝.(2)设M(x，y，z)，＝λ(0≤λ≤1)，即(x－1，y－1，z)＝λ(0，－1,2)，所以M(1,1－λ，2λ)．所以＝(0，λ－1，－2λ)，＝(－1，λ，1－2λ)，＝＝＝.令2λ－1＝t∈[－1,1]，则＝＝，当t∈[－1,0)时，∈；当t∈(0,1]时，∈；当t＝0时，＝0.所以∈，则∈.故的取值范围为.[方法技巧]n二面角的求法建立恰当坐标系，求出两个平面的法向量n1，n2，利用cos〈n1，n2〉＝求出(结合图形取“±”号)二面角，也可根据线面垂直，直接求出法向量来求解．[演练冲关]1.直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝2，＝λ.(1)若λ＝1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1A1C1D的大小为60°，求实数λ的值．解：如图，分别以AB，AC，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，C1(0,4,2)．(1)当λ＝1时，D为BC的中点，所以D(1,2,0)，＝(1，－2,2)，＝(0,4,0)，＝(1,2，－2)．设平面A1C1D的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得y＝0，x＝2，则n＝(2,0,1)为平面A1C1D的一个法向量，设直线DB1与平面A1C1D所成的角为θ.则sinθ＝＝＝＝，所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为.(2)因为＝λ，所以D，＝，，－2.设平面A1C1D的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令z1＝1，得y1＝0，x1＝λ＋1，则n1＝(λ＋1,0,1)为平面A1C1D的一个法向量．又平面A1B1C1的一个法向量为n2＝(0,0,1)，n由题意得|cos〈n1，n2〉|＝，所以＝，解得λ＝－1或λ＝－－1(不合题意，舍去)，所以实数λ的值为－1.2．(2018·苏锡常镇一模)如图，已知正四棱锥PABCD中，PA＝AB＝2，点M，N分别在PA，BD上，且＝＝.(1)求异面直线MN与PC所成角的大小；(2)求二面角NPCB的余弦值．解：(1)连结AC，BD，设AC，BD交于点O，在正四棱锥PABCD中，OP⊥平面ABCD.又PA＝AB＝2，所以OP＝.以O为坐标原点，，方向分别是x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图．则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)．故＝＋＝＋＝，＝＝，所以＝，＝(－1,1，－)，cos〈，〉＝＝＝，所以MN与PC所成角的大小为30°.(2)＝(－1,1，－)，＝(2,0,0)，＝.设m＝(x，y，z)是平面PCB的一个法向量，则即令y＝，得z＝1，所以m＝(0，，1)，设n＝(x1，y1，z1)是平面PCN的一个法向量，则即令x1＝2，得y1＝4，z1＝，所以n＝(2,4，),故cos〈m，n〉＝＝＝，n所以二面角NPCB的余弦值为.A组——大题保分练1．(2018·南京学情调研)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1.(1)若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；(2)求二面角BPDA的余弦值．解：(1)以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AP＝AB＝AD＝1，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．设C(1，y,0)，则＝(1,0，－1)，＝(－1,1－y,0)．因为直线PB与CD所成角大小为，所以|cos〈，〉|＝＝，即＝，解得y＝2或y＝0(舍)，所以C(1,2,0)，所以BC的长为2.(2)设平面PBD的法向量为n1＝(x，y，z)．因为＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，则即令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝(1,1,1)．因为平面PAD的一个法向量为n2＝(1,0,0)，所以cos〈n1，n2〉＝＝，所以由图可知二面角BPDA的余弦值为.2．(2018·苏北四市期末)在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝1，AA1＝2，E，F，G分别是棱AA1，AC和A1C1的中点，以{，，→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.n(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值；(2)求二面角FBC1C的余弦值．解：(1)因为AB＝1，AA1＝2，则F(0,0,0)，A，C，B，E，A1，C1，所以＝(－1,0,0)，＝.记异面直线AC和BE所成角为α，则cosα＝|cos〈，〉|＝＝，所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.(2)设平面BFC1的法向量为m＝(x1，y1，z1)．因为＝，＝，则即取x1＝4，得平面BFC1的一个法向量为m＝(4,0,1)．设平面BCC1的法向量为n＝(x2，y2，z2)．因为＝，＝(0,0,2)，则即取x2＝，得平面BCC1的一个法向量为n＝(，－1,0)，所以cos〈m，n〉＝＝.根据图形可知二面角FBC1C为锐二面角，所以二面角FBC1C的余弦值为.3．(2018·南京、盐城二模)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，A1C的中点．(1)求异面直线EF，AD所成角的余弦值；(2)点M在线段A1D上，＝λ.若CM∥平面AEF，求实数λ的值．解：因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，n所以A1A⊥平面ABCD.又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则△ABC是等边三角形．因为E是BC的中点，所以BC⊥AE.因为BC∥AD，所以AE⊥AD.故以A为原点，AE，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，E(，0,0)，C(，1,0)，D(0，2,0)，A1(0,0,2)，F.(1)因为＝(0,2,0)，＝，所以cos〈，〉＝＝，所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为.(2)设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且＝λ，即＝λ，则(x，y，z－2)＝λ(0,2，－2)．解得M(0,2λ，2－2λ)，＝(－，2λ－1,2－2λ)．设平面AEF的法向量为n＝(x0，y0，z0)．因为＝(，0,0)，＝，所以即令y0＝2，得z0＝－1，所以平面AEF的一个法向量为n＝(0,2，－1)．由于CM∥平面AEF，则n·＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝.4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB＝AC＝1，AA1＝2，点P是棱BB1上一点，满足＝λ(0≤λ≤1)．(1)若λ＝，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；(2)若二面角PA1CB的正弦值为，求λ的值．n解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为AB＝AC＝1，AA1＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1，0,2λ)．(1)由λ＝得，＝，＝(1,0，－2)，＝(0,1，－2)．设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得不妨取z1＝1，则x1＝y1＝2，从而平面A1BC的一个法向量为n1＝(2,2,1)．设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，所以直线PC与平面A1BC所成角的正弦值为.(2)设平面PA1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，又＝(1,0,2λ－2)，故由得不妨取z2＝1，则x2＝2－2λ，y2＝2，所以平面PA1C的一个法向量为n2＝(2－2λ，2,1)．则cos〈n1，n2〉＝，又二面角PA1CB的正弦值为，所以＝，化简得λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝1或λ＝－9(舍去)，故λ的值为1.B组——大题增分练1．(2018·镇江期末)如图，AC⊥BC，O为AB中点，且DC⊥平面ABC，DC∥BE.已知AC＝BC＝DC＝BE＝2.(1)求直线AD与CE所成的角；n(2)求二面角OCEB的余弦值．解：(1)因为AC⊥CB且DC⊥平面ABC，则以C为原点，CB为x轴正方向，CA为y轴正方向，CD为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AC＝BC＝BE＝2，则C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,2,0)，O(1,1,0)，E(2,0,2)，D(0,0,2)，且＝(0，－2,2)，＝(2,0,2)．所以cos〈，〉＝＝＝.所以直线AD和CE的夹角为60°.(2)平面BCE的一个法向量为m＝(0,1,0)，设平面OCE的法向量n＝(x0，y0，z0)．由＝(1,1,0)，＝(2,0,2)，得则解得取x0＝－1，则n＝(－1,1,1)．因为二面角OCEB为锐二面角，记为θ，则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝＝.即二面角OCEB的余弦值为.2．(2018·江苏高考)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．解：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{，，}为基底，建立空间直角坐标系Oxyz.因为AB＝AA1＝2，所以A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0，1,2)．n(1)因为P为A1B1的中点，所以P，从而＝，＝(0,2,2)，所以|cos〈，〉|＝＝＝.所以异面直线BP与AC1所成角的余弦值为.(2)因为Q为BC的中点，所以Q，因此＝，＝(0,2,2)，＝(0,0,2)．设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，则即不妨取n＝(，－1,1)．设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为.3.(2018·苏锡常镇调研(一))如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD是矩形，PD垂直于底面ABCD，PD＝AD＝2AB，点Q为线段PA(不含端点)上一点．(1)当Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值；(2)已知二面角QBDP的正弦值为，求的值．解：以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.不妨设AB＝1，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2，1,0)，P(0,0,2)．＝(2,1,0)，＝(0,0,2)．n(1)当Q是线段PA的中点时，Q(1，0,1)，＝(1，－1，1)．设平面PBD的法向量为m＝(x，y，z)．则即不妨取x＝1，解得y＝－2.则平面PBD的一个法向量为m＝(1，－2,0)．故cos〈m，〉＝＝＝.综上，CQ与平面PBD所成角的正弦值为.(2)＝(－2,0,2)，设＝λ(λ∈(0,1))，即＝(－2λ，0,2λ)．故Q(2－2λ，0,2λ)，＝(2,1,0)，＝(2－2λ，0,2λ)．设平面QBD的法向量为n＝(x，y，z)．则即不妨取x＝1，则y＝－2，z＝1－，故平面QBD的一个法向量为n＝.由(1)得平面PBD的一个法向量m＝(1，－2,0)，由题意得cos2〈m，n〉＝＝＝＝1－2＝，解得λ＝或λ＝－1.又λ∈(0,1)，所以λ＝，所以＝，即―＝，即＝.4.如图，在四棱锥SABCD中，SD⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC＝∠DAB＝90°，SD＝AD＝AB＝2，DC＝1.(1)求二面角SBCA的余弦值；(2)设P是棱BC上一点，E是SA的中点，若PE与平面SADn所成角的正弦值为，求线段CP的长．解：(1)由题意，以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，1,0)，S(0,0,2)，所以＝(2,2，－2)，＝(0,1，－2)，＝(0,0,2)．设平面SBC的法向量为n1＝(x，y，z)，则即令z＝1，得x＝－1，y＝2，所以n1＝(－1,2,1)是平面SBC的一个法向量.因为SD⊥平面ABC，取平面ABC的一个法向量n2＝(0,0,1)．设二面角SBCA的大小为θ，由图可知二面角SBCA为锐二面角，所以|cosθ|＝＝＝，所以二面角SBCA的余弦值为.(2)由(1)知E(1,0,1)，＝(2,1,0)，＝(1，－1，1)．设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ(2,1,0)＝(2λ，λ，0)，所以＝－＝(1－2λ，－1－λ，1)．易知CD⊥平面SAD，所以＝(0，－1,0)是平面SAD的一个法向量．设PE与平面SAD所成的角为α，所以sinα＝|cos〈，〉|＝＝，即＝，得λ＝或λ＝(舍去)．所以＝，||＝，n所以线段CP的长为.