2020版高中数学第二章抛物线的几何性质（第2课时）抛物线的几何性质的应用学案 18页

第2课时　抛物线的几何性质的应用学习目标　1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．知识点　直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系与公共点个数位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点2.直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．1．若直线与抛物线有且只有一个公共点，则直线与抛物线必相切．(　×　)2．直线与抛物线相交弦的弦长公式是|AB|＝·|x1－x2|＝x1＋x2＋p.(　×　)3．过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　√　)题型一　直线与抛物线的位置关系例1　已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？解　由方程组消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．(1)若直线与抛物线有两个交点，则k2≠0且Δ>0，即k2≠0且16(1－k2)>0，n解得k∈(－1,0)∪(0,1)．所以当k∈(－1,0)∪(0,1)时，直线l和抛物线C有两个交点．(2)若直线与抛物线有一个交点，则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，解得k＝0或k＝±1.所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．(3)若直线与抛物线无交点，则k2≠0且Δ<0.解得k>1或k<－1.所以当k>1或k<－1时，直线l和抛物线C无交点．反思感悟　直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．跟踪训练1　平面内一动点M(x，y)到定点F(0,1)和到定直线y＝－1的距离相等，设M的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)在曲线C上找一点P，使得点P到直线y＝x－2的距离最短，求出P点的坐标；(3)设直线l：y＝x＋m，问当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？解　(1)x2＝4y.(2)设点P，点P到直线y＝x－2的距离为＝＝，当x0＝2时，取得最小值，此时P(2,1)．(3)由得x2－4x－4m＝0，Δ＝42－4×(－4m)≥0，m≥－1.所以当m≥－1时，直线l和曲线C有交点．题型二　与弦长中点弦有关的问题例2　已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．(1)求抛物线E的方程；(2)求直线AB的方程．n解　(1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以＝1，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，①y＝4x2，②且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.由②－①得，(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以＝2.所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.反思感悟　中点弦问题有两种解法：(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由k＝求斜率，再由点斜式求解．(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．跟踪训练2　已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.解　方法一　由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y－1＝k(x－4)．由得ky2－6y－24k＋6＝0.当k＝0时，y＝1，显然不成立．当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.①设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，∴y1＋y2＝，y1y2＝.∵P1P2的中点为(4,1)，∴＝2，∴k＝3，适合①式．∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，∴|P1P2|＝n＝＝.方法二　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．则y＝6x1，y＝6x2，∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2，∴＝＝3，∴所求直线的斜率k＝3，所求直线方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，∴|P1P2|＝＝·＝.题型三　抛物线性质的综合应用命题角度1　抛物线中的定点(定值)问题例3　已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点．(1)解　设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA＝，kOB＝.因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，所以x1x2＋y1y2＝0.因为y＝2px1，y＝2px2，所以·＋y1y2＝0.因为y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2.n(2)证明　因为y＝2px1，y＝2px2，所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，所以＝，所以kAB＝，故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，所以y＝＋y1－，即y＝＋.因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，所以y＝＋，所以y＝(x－2p)，即直线AB过定点(2p,0)．反思感悟　在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．跟踪训练3　如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．证明　方法一　设AB的斜率为k，则AC的斜率为－k.把直线AB的方程y－2＝k(x－4)与y2＝x联立得y－2＝k(y2－4)，即ky2－y－4k＋2＝0.∵y＝2是此方程的一个解，∴2yB＝，∴yB＝，∴xB＝y＝，∴B.n∵kAC＝－k，∴以－k代替k代入B点坐标得C.∴kBC＝＝－，为定值．方法二　设B(y，y1)，C(y，y2)，则kBC＝＝.∵kAB＝＝，kAC＝＝，由题意得kAB＝－kAC，∴＝－，则y1＋y2＝－4，则kBC＝－，为定值．命题角度2　对称问题例4　在抛物线y2＝4x上恒有两点A，B关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．解　因为A，B两点关于直线y＝kx＋3对称，所以可设直线AB的方程为x＝－ky＋m.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线AB的方程代入抛物线方程，得y2＋4ky－4m＝0，设AB的中点坐标为M(x0，y0)，则y0＝＝－2k，x0＝2k2＋m.因为点M(x0，y0)在直线y＝kx＋3上，所以－2k＝k(2k2＋m)＋3，即m＝－.因为直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，所以Δ＝16k2＋16m>0，把m＝－代入，化简，得<0，所以<0.因为k2－k＋3＝2＋>0，所以<0，n解得－10，得a>0或a<－32.又∵x1＋x2＝，x1x2＝4，∴|AB|＝＝3，即5＝45，∴a＝4或a＝－36.∴所求抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－36x.求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．一、选择题1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程为(　　)A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0答案　D解析　设直线方程为2x－y＋m＝0，由得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，∴m＝－1，∴直线方程为2x－y－1＝0.2．已知圆C：(x＋2)2＋y2＝r2与抛物线D：y2＝20x的准线交于A，B两点，且|AB|＝8，则圆C的面积是(　　)A．5πB．9πC．16πD．25πn答案　D解析　抛物线D：y2＝20x的准线方程为x＝－5.圆C的圆心(－2,0)到准线的距离d＝3.又由|AB|＝8，∴r2＝d2＋2＝25，故圆C的面积S＝25π，故选D.3．已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为(　　)A．(1,2)B．(0,0)C.D．(1,4)答案　C解析　因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.则即4x2－4x－m＝0.①设此直线与抛物线相切有Δ＝0，即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.将m＝－1代入①式，得x＝，y＝1，所求点的坐标为.4．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于(　　)A．2B．2C．4D．2答案　B解析　由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则点M到焦点的距离为xM＋＝2＋＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝4×2＝8，∴|OM|＝＝＝2.5．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为(　　)A．4B．8C．16D．32考点　抛物线的定义题点　抛物线定义的其他应用答案　Bn解析　易知F(2,0)，K(－2,0)，过点A作AM垂直准线于点M，则|AM|＝|AF|.∴|AK|＝|AM|，∴△AMK为等腰直角三角形．设A(m2,2m)(m>0)，则△AFK的面积S＝×2m×4＝4m.又由|AK|＝|AM|，得(m2＋2)2＋8m2＝2(m2＋2)2，解得m＝.∴△AFK的面积S＝4m＝8.6．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB的中点的横坐标为2，则k等于(　　)A．2或－2B．－1C．2D．3答案　C解析　由题意知得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝2，即x1＋x2＝4，∴x1＋x2＝＝4，∴k＝2或－1，经判别式检验知k＝2符合题意．7．已知直线l：y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是(　　)A.B.C．2D.答案　D解析　设抛物线C：y2＝8x的准线为m：x＝－2.直线y＝k(x＋2)(k>0)恒过定点P(－2,0)，如图，n过点A，B分别作AM⊥m于点M，BN⊥m于点N.由|AM|＝2|BN|，得点B为AP的中点，连接OB，则|OB|＝|AF|，∴|OB|＝|BF|，∴点B的横坐标为1，∴点B的坐标为(1,2)．把B(1,2)代入直线l：y＝k(x＋2)(k>0)，解得k＝，故选D.二、填空题8．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是______________．答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析　由题意知机器人进行的轨迹为以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.设过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)．代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.∵机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，∴k2>1，∴k>1或k<－1.9．抛物线焦点在y轴上，截得直线y＝x＋1的弦长为5，则抛物线的标准方程为________________．答案　x2＝－20y或x2＝4y解析　设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，由得x2－x－a＝0.设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，n则x1＋x2＝，x1x2＝－a，|AB|＝·＝·＝5，得a＝－20或4，经检验，a＝－20或4都符合题意．∴抛物线方程为x2＝－20y或x2＝4y.10．已知抛物线y＝2x2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称．若2x1x2＝－1，则2m的值是________．答案　3解析　由题意，得k＝＝＝2(x2＋x1)＝－1，∴x2＋x1＝－.∵＝＋m，∴y1＋y2＝x1＋x2＋2m，∴2x＋2x＝－＋2m，即2(x1＋x2)2－4x1x2＝－＋2m，∴2m＝3.11．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.答案　6解析　抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－.代入－＝1，得|x|＝.若△ABF为等边三角形，则tan＝＝＝，解得p2＝36，p＝6.三、解答题12．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．n(1)证明　如图所示，由消去x，得ky2＋y－k＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得y1y2＝－1，y1＋y2＝－.因为A，B在抛物线y2＝－x上，所以y＝－x1，y＝－x2，所以y·y＝x1x2.因为kOA·kOB＝·＝＝＝－1，所以OA⊥OB.(2)解　设直线与x轴交于点N，显然k≠0，令y＝0，得x＝－1，即N(－1,0)，因为S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON|·|y1－y2|，所以S△OAB＝·1·＝.因为S△OAB＝，所以＝，解得k＝±.13．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．n(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．解　(1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.所以·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.因为·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，又·＝－4，∴b2－4b＝－4，解得b＝2，故直线l过定点(2,0)．14．如图，已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点P是其准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点．若点P的纵坐标为m(m≠0)，点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为________．答案　(4，＋∞)解析　由抛物线C：y2＝4x可得焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PF的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．联立方程组消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝2＋，nx1x2＝1，∴|AB|＝·＝·＝.点D(－1,0)到直线AB的距离d＝，∴S＝d·|AB|＝·＝4＞4，∴△DAB的面积S的取值范围为(4，＋∞)．15．已知F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(4,2)为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点，|PA|＋|PF|的最小值为8.(1)求抛物线的方程；(2)是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线交于B，C两点(异于坐标原点)，且以BC为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．解　(1)设抛物线的准线为l，过点P作PD⊥l于点D，过A作AE⊥l于点E(图略)．由抛物线的定义，知|PF|＝|PD|，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PD|≥|AE|，当且仅当A，P，E三点共线时取等号．由题意知|AE|＝8，即4＋＝8，得p＝8，所以抛物线的方程为y2＝16x.(2)假设存在点M，当直线BC的斜率存在时，设过点M的直线方程为y＝kx＋b.显然k≠0，b≠0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由以BC为直径的圆恰好过坐标原点，得·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，把y＝kx＋b代入y2＝16x，得k2x2＋2(bk－8)x＋b2＝0，由根与系数的关系，得又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2，所以y1y2＝，所以＋＝0，得b＝－16k.所以过点M的直线方程为y＝kx－16k＝k(x－16)，必过定点(16,0)．当直线BC的斜率不存在时，直线x＝16交抛物线于B(16，－16)，C(16,16)或B(16,16)，C(16，－16)，仍然有·＝0.n综上，存在点M(16,0)满足条件．