2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习学案新人教b版 14页

第二章圆锥曲线与方程章末复习学习目标　1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步巩固和理解圆锥曲线的定义.3.掌握圆锥曲线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹标准方程＋＝1或＋＝1(a>b>0)－＝1或－＝1(a>0，b>0)y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线y＝±x或y＝±x无限延展，没有渐近线变量范围|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b|x|≥a或|y|≥ax≥0或x≤0或y≥0或y≤0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e＝，且01e＝1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2.椭圆的焦点三角形n设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S＝b2tan.(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.3．双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x；双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝±x.(2)如果双曲线的渐近线方程为±＝0，它的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．4．求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．5．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．1．设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|－|PB|＝k，则动点P的轨迹为双曲线．(　×　)2．若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切．(　×　)n3．方程2x2－5x＋2＝0的两根x1，x2(x1n时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆．(　×　)5．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是.(　√　)题型一　圆锥曲线的定义及应用例1　已知椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随m，n变化而变化答案　B解析　设P为双曲线右支上的一点．对于椭圆＋y2＝1(m>1)，c2＝m－1，|PF1|＋|PF2|＝2，对于双曲线－y2＝1，c2＝n＋1，|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，|F1F2|2＝(2c)2＝2(m＋n)，而|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝(2c)2＝|F1F2|2，∴△F1PF2是直角三角形，故选B.反思感悟　涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．跟踪训练1　抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则(　　)A．x1，x2，x3成等差数列B．y1，y2，y3成等差数列C．x1，x3，x2成等差数列D．y1，y3，y2成等差数列答案　A解析　如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义可知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.n∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋，∴2＝x1＋＋x3＋，得2x2＝x1＋x3，故选A.题型二　圆锥曲线的方程及几何性质命题角度1　求圆锥曲线的方程例2　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p等于(　　)A．1B.C．2D．3答案　C解析　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，y2＝2px的准线方程为x＝－.∵双曲线的离心率为2，∴e＝＝2，即＝±，∴渐近线方程为y＝±x，由得y＝－p，∴|AB|＝p，S△OAB＝××p＝，解得p＝2.反思感悟　一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．n(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系．跟踪训练2　设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　)A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x答案　C解析　由抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，知焦点F.设M(x，y)，由抛物线性质|MF|＝x＋＝5，可得x＝5－.因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心横坐标为＝.由已知，得圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，则M，代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.命题角度2　求圆锥曲线的离心率例3　如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．n答案　解析　由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝2，因此对于双曲线有a＝，c＝，所以C2的离心率e＝＝.反思感悟　求圆锥曲线离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．跟踪训练3　已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．答案　解析　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，又△FAB为直角三角形，则只有∠AFB＝90°，如图，则A(－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2＝，n于是c＝＝.故e＝＝.题型三　直线与圆锥曲线的位置关系例4　已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左、右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．解　(1)由题意知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以a＝.又因为e＝＝，所以c＝×＝1，所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)已知F2(1,0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与椭圆的方程得化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，Δ＝16k4－4(1＋2k2)(2k2－2)＞0，所以x1＋x2＝，ny1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.所以AB的中点坐标为.①当k≠0时，AB的中垂线方程为y－＝－，因为|MA|＝|MB|，所以点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得，＋＝，即2k2－7k＋＝0，解得k＝或k＝；②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．所以斜率k的取值为0，或.反思感悟　解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．跟踪训练4　如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n＝(，－1)共线．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．解　(1)因为2c＝2，所以c＝1.又＝(－a，b)，且∥n，所以b＝a，所以2b2＝b2＋1，所以b2＝1，a2＝2.n所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直线方程y＝kx＋m代入椭圆方程＋y2＝1，消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.Δ＝16k2－8m2＋8>0，即m2<2k2＋1.(*)因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，所以·<0，即x1x2＋y1y2<0.又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.由＋<0，得m20B．00，即3k2－m2＋1>0.①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点N(x0，y0)，则∵|AP|＝|AQ|，∴PQ⊥AN.设kAN表示直线AN的斜率，又k≠0，∴kAN·k＝－1.n即·k＝－1，得3k2＝2m－1.②∵3k2>0，∴m>.将②代入①得2m－1－m2＋1>0，即m2－2m<0，解得00恒成立．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＋y2＝8m，由8m＝4，得m＝.所以直线l的方程为2x－y－2＝0.(2)假设C，D两点存在，则可设lCD：y＝－x＋n，与抛物线y2＝8x联立，消去y得x2－(n＋8)x＋n2＝0，其中Δ＝(n＋8)2－n2＝16n＋64>0，n则n>－4.(*)又xC＋xD＝4(n＋8)，所以CD的中点为(2(n＋8)，－8)，代入直线l的方程，得n＝－，不满足(*)式．所以满足题意的C，D两点不存在．[素养评析]　(1)解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解．(2)按照逻辑推理的形式与规则，探索论证结论的存在性，有助于培养学生的合乎逻辑的思想品质和理性精神．1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1考点　椭圆的标准方程的求法题点　定义法求椭圆的标准方程答案　A解析　根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.2．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(　　)A．2B.C.D.n答案　C解析　双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x.依题意·＝－1，故＝1.所以＝1，即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝.3．设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　B解析　∵y2＝8x的焦点为(2,0)，∴＋＝1的右焦点为(2,0)，∴m>n且c＝2.又e＝＝，∴m＝4.∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12.∴椭圆方程为＋＝1.4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是(　　)A．2pB．4pC．6pD．8p答案　B解析　设A，B在y2＝2px上，另一个顶点为O，则A，B关于x轴对称，则∠AOx＝30°，则OA方程为y＝x.由得y＝2p.∴△AOB的边长为4p.5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2.n(1)求椭圆的方程；(2)求弦长|CD|.考点　直线与椭圆的位置关系题点　弦长与三角形面积解　(1)由题意，b＝1，＝，a2＝b2＋c2，联立解得a＝，c＝1，可得椭圆的方程为＋y2＝1.(2)∵F1(－1,0)，∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，由得9x2＋16x＋6＝0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，∴|CD|＝|x1－x2|＝·＝×＝.在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的烦琐问题．