2020版高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义学案新人教b版 15页

3．1.3　导数的几何意义学习目标　1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．知识点　导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．1．过曲线上一点的割线有无数条，而过这点的切线却仅有一条．(　×　)2．曲线在点P处的切线和过点P的切线意思相同．(　×　)3．这里对曲线切线的定义与圆的切线的定义并不完全相同．(　√　)n题型一　求切线方程命题角度1　曲线在某点处的切线方程例1　已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．解　将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点坐标为P(2,4)．∵y′|x＝2＝＝＝[4＋2Δx＋(Δx)2]＝4，∴k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.反思感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．答案　－3解析　∵y′|x＝2＝＝＝(4＋Δx)＝4，∴k＝y′|x＝2＝4.∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.n∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.命题角度2　曲线过某点的切线方程例2　求抛物线y＝x2过点的切线方程．解　设切线在抛物线上的切点坐标为，∵＝＝＝x0，∴＝x0，即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1.∴切线过抛物线y＝x2上的点，，故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，即为所求的切线方程．反思感悟　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，y0)．(2)建立方程f′(x0)＝.(3)解方程k＝f′(x0)，得x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练2　求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．解　设切点坐标为(x0，x＋x0＋1)，则切线斜率为k＝＝2x0＋1.又k＝＝，∴2x0＋1＝，解得x0＝0或x0＝－2.当x0＝0时，切线的斜率为k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0；n当x0＝－2时，切线的斜率为k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.题型二　求切点坐标例3　已知曲线y1＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y2＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．解　＝＝＝2x0，＝＝＝－3x.由题意得2x0＝－3x，解得x0＝0或－.引申探究1．若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值．解　∵＝2x0，＝－3x.又曲线y1＝x2－1与y2＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，∴2x0·(－3x)＝－1，解得x0＝.2．若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程．解　由例3知，x0＝0或－.当x0＝0时，两条平行切线方程分别为y＝－1，y＝1.当x0＝－时，曲线y＝x2－1的切线方程为12x＋9y＋13＝0.曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0.∴所求两平行切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与36x＋27y－11＝0.反思感悟　根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)．(2)求导函数f′(x)．n(3)求切线的斜率f′(x0)．(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．跟踪训练3　已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．解　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．∵＝＝＝3x－4x0，又由题意可知k＝4，∴3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，∴切点坐标为或(2,3)．当切点坐标为时，有＝4×＋a，解得a＝.当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.∴当a＝时，切点坐标为；当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．题型三　导数几何意义的应用例4　(1)函数g(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　)A．00且曲线的切线的斜率逐渐增大，∴g′(x)单调递增，∴g′(2)0B．f′(x0)＝0C．f′(x0)<0D．f′(x0)不存在答案　C解析　由导数的几何意义，可得f′(x0)＝－2<0.2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)nA．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)0，解得a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，此时a的取值范围是(－∞，2)．