2020版高中数学第三章二元一次不等式（组）所表示的平面区域学案新人教b版 13页

3.5.1　二元一次不等式(组)所表示的平面区域学习目标　1.理解二元一次不等式(组)的解、解集的概念．2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.3.能把平面区域用不等式(组)表示．知识点一　二元一次不等式(组)的概念1．含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式称为二元一次不等式．2．由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．3．满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)称为二元一次不等式(组)的一个解．4．所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．知识点二　二元一次不等式表示的平面区域1．在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界．不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．2．对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得值的符号都相同．3．在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号可以断定Ax＋By＋C>0(或<0)表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．知识点三　二元一次不等式组表示的平面区域1．二元一次不等式组的解集为组中各不等式解集的交集，其表示的平面区域是组中各不等式表示区域的公共部分．2．画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：(1)画线——画出不等式组中各不等式所对应的方程表示的直线(如果原不等式中带等号，则画成实线，否则画成虚线)；(2)定侧——将某个区域内的一个特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；(3)求交——在确定了各个不等式所表示的平面区域后，再求这些平面区域的公共部分，这个n公共部分就是不等式组所表示的平面区域，“直线定界，特殊点定域”的方法仍然适用．1．点(1,2)是不等式组的解．(　×　)2．x>1也可理解为二元一次不等式，其表示的平面区域位于直线x＝1右侧．(　√　)3．点(1,2)不在2x＋y－1>0表示的平面区域内．(　×　)4.表示的平面区域为第一象限．(　√　)题型一　二元一次不等式解的几何意义例1　已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．答案　(－7,24)解析　点(3,1)和(－4,6)必有一个是3x－2y＋a＞0的解，另一个点是3x－2y＋a<0的解．∴或即(3×3－2×1＋a)[3×(－4)－2×6＋a]<0，(a＋7)(a－24)<0，解得－70表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的(　　)A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方答案　B解析　在平面直角坐标系中画出直线x－2y＋6＝0，观察图象(图略)知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x－2y＋6，得0－0＋6＝6>0，所以原点(0,0)在不等式x－2y＋6>0表示的平面区域内，故选B．命题角度2　给不等式组画平面区域例3　画出下列不等式组所表示的平面区域．(1)(2)解　(1)x－2y≤3，即x－2y－3≤0，表示直线x－2y－3＝0上及左上方的区域；x＋y≤3，即x＋y－3≤0，表示直线x＋y－3＝0上及左下方的区域；x≥0表示y轴及其右边区域；y≥0表示x轴及其上方区域．综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示．(2)x－y<2，即x－y－2<0，表示直线x－y－2＝0左上方的区域；n2x＋y≥1，即2x＋y－1≥0，表示直线2x＋y－1＝0上及右上方的区域；x＋y<2表示直线x＋y＝2左下方的区域．综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示．反思感悟　在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包含边界．跟踪训练3　画出|x|＋|y|≤1表示的平面区域．解　当x≥0且y≥0时，|x|＋|y|≤1，即x＋y≤1.由可画出区域如图(1)　　　　图(1)　　　　　　　图(2)若点(x，y)满足|x|＋|y|≤1．则点(－x，y)，(x，－y)也满足|x|＋|y|≤1．∴|x|＋|y|≤1表示的平面区域关于x轴，y轴对称．∴|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图(2)．题型三　求区域面积例4　在平面直角坐标系中，求不等式组表示的平面区域的面积．解　在平面直角坐标系中，作出x＋y－2＝0，x－y＋2＝0和x＝2三条直线，利用特殊点(0,0)可知可行域如图阴影部分(含边界)所示，n所以面积为S＝×4×2＝4．反思感悟　求平面区域的面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．跟踪训练4　不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)A．B．C．D．答案　C解析　作出平面区域如图所示为△ABC，由可得A(1,1)，又B(0,4)，C，∴S△ABC＝·|BC|·|xA|＝××1＝，故选C．数形结合的魅力典例　我们可以验证点(1,2)是不等式x－y＜6的一个解．怎么证明直线x－y＝6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x－y＜6的解？证明　设点A(x0，y0)位于直线x－y＝6左上方区域，则过点A作直线AB∥y轴，交直线x－y＝6于点B．设B(x0，y1)，则有y0＞y1．n∵B在直线x－y＝6上，∴x0－y1＝6．由y0＞y1，得－y0＜－y1，x0－y0＜x0－y1＝6．即点(x0，y0)满足不等式x－y＜6．∴x－y＝6左上方半平面区域任一点均是x－y＜6的解．[素养评析]　提升学生的数形结合能力，是培养直观想象核心素养的一大具体任务，本例证明任务是代数问题：不等式的解的问题．在证明过程中，我们把“直线左上方区域”这一几何条件，转化成数：y0＞y1，再借助代数手段：不等式性质，严谨证明了一个初看无从下手的问题，完善诠释了数形结合的魅力．1．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是(　　)A．(0，0)B．(1，1)C．(0，2)D．(2，0)答案　D解析　将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2，0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D．2．已知点(－1，2)和点(3，－3)在直线3x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　)A．(－1，6)B．(－6，1)C．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D．(－∞，－6)∪(1，＋∞)答案　A解析　由题意知，(－3＋2－a)(9－3－a)<0，即(a＋1)(a－6)<0，∴－12x．解　(1)画出直线x－2y＋4＝0，∵0－2×0＋4＝4>0，∴x－2y＋4≥0表示的区域为含(0，n0)的一侧(包含边界)，因此所求的平面区域为如图所示的区域，包括边界．(2)画出直线y－2x＝0，∵0－2×1＝－2<0，∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1，0)的一侧，因此所求的平面区域为如图所示的区域，不包括边界．4．(1)画出表示的平面区域；(2)画出(y－2x)(x－2y＋4)≥0表示的平面区域．解　1．二元一次不等式(组)的一个解对应一个坐标点，解集对应点集一般形成一个平面区域．2．画边界直线．画出不等式所对应的方程表示的直线，若此区域包括边界，则直线画成实线；若不包括边界，则画成虚线(即看不等式能否取到等号)．3．特殊点定域．确定边界后，只需在直线的某一侧取一特殊点(原点不在边界上时，常取原点，在边界上时，取坐标轴上的点)验证其坐标是否满足二元一次不等式，若满足不等式，则区域为特殊点所在一侧，不满足，则为另一侧．简记为“直线定界，特殊点定域”．n一、选择题1．在3x＋5y<4表示的平面区域内的一个点是(　　)A．(2,0)B．(－1,2)C．(1,1)D．(－1,1)答案　D解析　将点(－1,1)代入3x＋5y<4，得2<4，所以点(－1，1)在不等式3x＋5y<4表示的平面区域内，故选D.2．点A(－2，b)不在平面区域2x－3y＋5≥0内，则b的取值范围是(　　)A．b≤B．b<1C．b＞D．b＞－9答案　C解析　依题意，点A(－2，b)满足2x－3y＋5<0，∴2×(－2)－3b＋5<0，即b＞.3．不等式组表示的平面区域内整点(横坐标、纵坐标都是整数的点)的个数是(　　)A．2B．4C．6D．8答案　C解析　画出可行域后(图略)，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，共6个．4．下列选项中与点(1,2)位于直线2x－y＋1＝0的同一侧的是(　　)A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)D．(1,0)答案　D解析　∵2×1－2＋1＝1＞0，∴点(1,2)位于2x－y＋1＞0表示的平面区域内，而四个点(－1,1)，(0,1)，(－1,0)，(1,0)中只有(1,0)满足2x－y＋1＞0.5．已知点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围是(　　)A．(－24,7)B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)答案　Bn解析　因为点(－3，－1)和(4，－6)分别在直线3x－2y－a＝0的两侧，所以[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7－2.又阴影部分在直线x＝0左边，且包含直线x＝0，故可得不等式x≤0.由图象可知，第三条边界线过点(－2,0)，点(0,3)，故可得直线3x－2y＋6＝0，因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分内，故可得不等式3x－2y＋6>0.观察选项可知选C.7．不等式组表示的平面区域的面积等于(　　)A．28B．16C.D．121答案　B解析　作出不等式组表示的平面区域(图略)，可知该区域为等腰直角三角形，其三个顶点的坐标分别为(3，－3)，(3,5)，(－1,1)，所以其面积S＝×8×4＝16.8．不等式组表示的平面区域是一个(　　)A．三角形B．直角梯形C．梯形D．矩形答案　C解析　在同一坐标系中画出直线x－y＋5＝0及x＋y＝0，取点(0,1)，代入(x－y＋5)(x＋y)中，得(－1＋5)×1＝4>0，可知点(0,1)在不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0表示的区域内，再画出直线x＝0和x＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．n二、填空题9.如图所示的区域用不等式可表示为_____________________________________.答案　5x－2y＋10>0解析　过(－2,0)，(0,5)的直线方程为＋＝1，即5x－2y＋10＝0.代入(0,0)得5×0－2×0＋10>0，∴(0,0)所在区域为5x－2y＋10>0.10．(2018·柯桥区期末)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是________．答案　解析　作出不等式组对应的平面区域如图所示，则对应区域为三角形ABC，其中A(0,2)，B(1,2)，C(1,1)，n则△ABC的面积S＝×1×1＝.11．记不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．答案　解析　不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分(含边界)，且A(1,1)，B(0,4)，C.直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0)，且斜率为a.由斜率公式可知kAP＝，kBP＝4.若直线y＝a(x＋1)与区域D有公共点，由数形结合可得≤a≤4.三、解答题12．画出下列不等式表示的平面区域．(1)3x－y>0；(2)y≤－2x＋3.解　(1)画出直线3x－y＝0(画成虚线)，将点(1,0)代入3x－y，得3×1－0>0，所以不等式3x－y>0表示的平面区域与点(1,0)位于直线3x－y＝0的同侧，如图所示．(2)将y≤－2x＋3变形得2x＋y－3≤0，先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)．将点(0,0)代入2x＋y－3得－3<0，所以2x＋y－3≤0表示的区域与点(0,0)位于直线2x＋y－3＝0的同侧，如图所示．n13．已知实数x，y满足不等式组(1)画出满足不等式组的平面区域；(2)求满足不等式组的平面区域的面积．解　(1)满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示．(2)解方程组得A，解方程组得D，所以满足不等式组的平面区域的面积为S四边形ABCD＝S△AFE－S△BFC－S△DCE＝×(2＋3)×－×(1＋2)×1－×(3－1)×＝.14．已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．答案　解析　由题意可得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)．则不等式组表示的平面区域为△ABC及其内部．直线y＝kx＋1过点A.要把△ABC分成面积相等的两部分，需过BC中点M.n此时k＝＝＝.15．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x－by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是__________________．答案　∪解析　P(1，－2)关于(0,0)的对称点为(－1,2)，依题意有或所以b≤－或b≥－.