江苏省2019届高考数学专题八二项式定理与数学归纳法（理）8.2数学归纳法达标训练 8页

数学归纳法A组——大题保分练1．(2018·南通三模)已知函数f0(x)＝(a≠0，bc－ad≠0)．设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求f1(x)，f2(x)；(2)猜想fn(x)的表达式，并证明你的结论．解：(1)f1(x)＝f0′(x)＝′＝，f2(x)＝f1′(x)＝′＝.(2)猜想fn(x)＝，n∈N*.证明：①当n＝1时，由(1)知结论成立，②假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时结论成立，即有fk(x)＝.当n＝k＋1时，fk＋1(x)＝fk′(x)＝′＝(－1)k－1·ak－1·(bc－ad)·k！[(ax＋b)－(k＋1)]′＝.所以当n＝k＋1时结论成立．由①②得，对一切n∈N*结论都成立．2．(2018·镇江模拟)证明：对一切正整数n,5n＋2·3n－1＋1都能被8整除．证明：(1)当n＝1时，原式等于8，能被8整除；(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即5k＋2·3k－1＋1能被8整除．设5k＋2·3k－1＋1＝8m，m∈N*，当n＝k＋1时，5k＋1＋2·3k＋1＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·3k－1－4＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4(3k－1＋1)，n而当k≥1，k∈N*时，3k－1＋1显然为偶数，设为2t，t∈N*，故5k＋1＋2·3k＋1＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4(3k－1＋1)＝40m－8t(m，t∈N*)，也能被8整除，故当n＝k＋1时结论也成立；由(1)(2)可知，对一切正整数n,5n＋2·3n－1＋1都能被8整除．3．已知Sn＝1＋＋＋…＋(n≥2，n∈N*)，求证：S2n＞1＋(n≥2，n∈N*)．证明：(1)当n＝2时，S2n＝S4＝1＋＋＋＝＞1＋，即n＝2时命题成立；(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋＋＋…＋＞1＋，则当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋＞1＋＋＋＋…＋＞1＋＋＝1＋＋＝1＋，故当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，对n≥2，n∈N*不等式S2n＞1＋都成立．4．(2018·常州期末)记(x＋1)··…·(n≥2且n∈N*)的展开式中含x项的系数为Sn，含x2项的系数为Tn.(1)求Sn；(2)若＝an2＋bn＋c，对n＝2,3,4成立，求实数a，b，c的值；(3)对(2)中的实数a，b，c，用数学归纳法证明：对任意n≥2且n∈N*，＝an2＋bn＋c都成立．解：(1)因为(x＋1)··…·n＝(1＋x)(1＋2x)·…·(1＋nx)＝[1＋(1＋2＋…＋n)x＋…＋n！xn]，所以Sn＝＝.(2)由题意及(1)可知＝，＝，＝，又＝an2＋bn＋c，则解得a＝，b＝－，c＝－.(3)证明：①当n＝2时，由(2)知等式成立．②假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，等式成立，即＝k2－k－.当n＝k＋1时，由f(x)＝(x＋1)·…·＝·＝知Tk＋1＝Sk＋Tk＝，所以＝＝＝.又(k＋1)2－(k＋1)－＝＝上式，n即等式＝(k＋1)2－(k＋1)－也成立．综上可得，对任意n≥2且n∈N*，都有＝an2＋bn＋c成立．B组——大题增分练1．(2018·南通、泰州一调)用数学归纳法证明：当x∈N*时，cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋cosnx＝－(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z)．证明：①当n＝1时，等式右边＝－＝＝＝cosx＝等式左边，等式成立．②假设当n＝k时等式成立，即cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＝－.那么，当n＝k＋1时，有cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＋cos[(k＋1)x]＝－＋cos[(k＋1)x]＝－＝sin[(k＋1)x]cosx－cos[(k＋1)x]sinx＋2sinxcos[(k＋1)x]÷2sinx－n＝－＝－，这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n∈N*等式都成立．2．已知数列{an}共有3n(n∈N*)项，记f(n)＝a1＋a2＋…＋a3n.对任意的k∈N*,1≤k≤3n，都有ak∈{0,1}，且对于给定的正整数p(p≥2)，f(n)是p的整数倍．把满足上述条件的数列{an}的个数记为Tn.(1)当p＝2时，求T2的值；(2)当p＝3时，求证：Tn＝[8n＋2(－1)n]．解：(1)由题意，当n＝2时，数列{an}共有6项．要使得f(2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，故T2＝C＋C＋C＋C＝25＝32.(2)证明：由题意及(1)的分析可知，当p＝3时，Tn＝C＋C＋C＋…＋C.当1≤k≤n，k∈N*时，C＝C＋C＝C＋C＋C＋C＝2C＋C＋C＝2(C＋C)＋C＋C＋C＋C＝3(C＋C)＋C＋C，于是Tn＋1＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋3(C＋C＋C＋C＋…＋C＋C)＋Tn－C＋Tn－C＝2Tn＋3(23n－Tn)＝3×8n－Tn.下面用数学归纳法证明Tn＝[8n＋2(－1)n]．当n＝1时，T1＝C＋C＝2＝[81＋2(－1)1]，即n＝1时，命题成立．假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，n即Tk＝[8k＋2(－1)k]．则当n＝k＋1时，Tk＋1＝3×8k－Tk＝3×8k－[8k＋2(－1)k]＝[9×8k－8k－2(－1)k]＝[8k＋1＋2(－1)k＋1]，即n＝k＋1时，命题也成立．于是当n∈N*，有Tn＝[8n＋2(－1)n]．3．(2018·扬州调研)在数列{an}中，an＝cos(n∈N*)．(1)试将an＋1表示为an的函数关系式；(2)若数列{bn}满足bn＝1－(n∈N*)，猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论．解：(1)an＝cos＝cos＝22－1，∴an＝2a－1，∴an＋1＝±，又n∈N*，n＋1≥2，an＋1>0，∴an＋1＝.(2)当n＝1时，a1＝－，b1＝1－2＝－1，∴a1>b1；当n＝2时，a2＝，b2＝1－＝，∴a2＝b2；当n＝3时，a3＝，b3＝1－＝，∴a30，即证＋2>0，显然成立．∴n＝k＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n≥3时，an