江苏省2019届高考数学专题四数列4.1小题考法—数列中的基本量计算讲义 10页

数列[江苏卷5年考情分析]小题考情分析大题考情分析常考点等差数列的基本量计算(5年2考)等比数列的基本量计算(5年3考)近几年的数列解答题，其常规类型可分为二类：一类是判断、证明某个数列是等差、等比数列(如2017年T19)；另一类是已知等差、等比数列求基本量，这个基本量涵义很广泛，有项、项数、公差、公比、通项、和式以及它们的组合式，甚至还包括相关参数(如2018年T20)．数列的压轴题还对代数推理能力的要求较高，其中数列与不等式的结合(如2018年T20,2016年T20)；数列与方程的结合(如2015年T20)．这些压轴题难度很大，综合能力要求较高.偶考点等差、等比数列的性质及最值问题第一讲小题考法——数列中的基本量计算考点(一)等差、等比数列的基本运算　主要考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及有关的五个基本量间的“知三求二”运算.[题组练透]1．(2018·南通、泰州一调)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋6a4，则a3的值为________．解析：由a8＝a6＋6a4，得a2q6＝a2q4＋6a2q2，则q4－q2－6＝0，所以q2＝3(负值舍去)，又q>0，所以q＝，则a3＝a2q＝.答案：2．公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，则λ的值为________．解析：设等差数列{an}的公差为d，由a6＝3a4，得a1＋5d＝3(a1＋3d)，则a1＝－2d，又S10＝λa4，所以λ＝＝＝＝25.n答案：253．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.解析：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3，得q≠1，则解得则a8＝a1q7＝×27＝32.答案：324．在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为________．解析：设{an}的公比为q且q>0，因为a2，a3，a1成等差数列，所以a1＋a2＝2×a3＝a3，即a1＋a1q＝a1q2，因为a1≠0，所以q2－q－1＝0，解得q＝或q＝<0(舍去)，所以＝＝q2＝.答案：[方法技巧]等差(比)数列基本运算的策略(1)在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个最基本的元素．(2)在进行等差(比)数列项的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体代换法的使用，以减少计算量.考点(二)等差、等比数列的性质　　　　　　　　　　　　　　主要考查等差、等比数列的性质及与前n项和有关的最值问题.[题组练透]1．在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝________.解析：由等差数列的性质知a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4，则2a1·2a2·…·2a10＝2a1＋a2＋…＋a10＝25(a5＋a6)＝25×4，∴log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log225×4＝20.答案：20n2．(2018·南京、盐城、连云港二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S15＝30，a7＝1，则S9的值为________．解析：因为S15＝30，所以＝30，a1＋a15＝4，即2a8＝4，a8＝2，又因为a7＝1，所以公差d＝1，a5＝a7－2d＝－1，S9＝＝9a5＝－9.答案：－93．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋8＝0的根，则＝________.解析：由题知，a3＋a15＝6>0，a3a15＝8>0，则a3>0，a15>0，由等比数列的性质知a1a17＝a3a15＝8＝a⇒a9＝±2.设等比数列{an}的公比为q，则a9＝a3q6>0，故a9＝2，故＝＝2.答案：24．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S9－S6＝12，则S6＝________.解析：在等比数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即3，S6－3,12成等比数列，所以(S6－3)2＝3×12＝36，所以S6－3＝±6，所以S6＝9或S6＝－3(舍去)．答案：95．(2018·苏州暑假测试)等差数列{an}的前n项和为Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，总有Sn≤Sk，则k的值是________．解析：在等差数列{an}中，设公差为d，因为“an－Sn＝a1＋(n－1)d－＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)”的二次项系数为1，所以－＝1，即公差d＝－2，令n＝2，得a1＝13，所以前n项和Sn＝13n＋×(－2)＝14n－n2＝49－(n－7)2，故前7项和最大，所以k＝7.答案：7[方法技巧]等差、等比数列性质问题求解策略(1)等差、等比数列性质的应用的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”这一性质与求和公式Sn＝的综合应用．n[必备知能·自主补缺](一)主干知识要记牢1．等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)前n项和公式Sn＝＝na1＋d(1)q≠1，Sn＝＝；(2)q＝1，Sn＝na12．判断等差数列的常用方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．3．判断等比数列的常用方法(1)定义法：＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)中项公式法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(二)二级结论要用好1．等差数列的重要规律与推论(1)p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an.(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.(3)连续k项的和(如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…)构成的数列是等差数列．(4)若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.(5)若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.[针对练]　一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.n由已知条件，得解得又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.答案：52．等比数列的重要规律与推论(1)p＋q＝m＋n⇒ap·aq＝am·an.(2){an}，{bn}成等比数列⇒{anbn}成等比数列．(3)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)构成的数列是等比数列(注意：这连续m项的和必须非零才能成立)．(4)若等比数列有2n项，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q.(5)对于等比数列前n项和Sn，有：①Sm＋n＝Sm＋qmSn；②＝(q≠±1)．[课时达标训练]A组——抓牢中档小题1．(2018·南京三模)若等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a1＝1，S6＝3S3，则a7的值为________．解析：由S6＝3S3，得(1＋q3)S3＝3S3.因为S3＝a1(1＋q＋q2)≠0，所以q3＝2，得a7＝4.答案：42．(2018·南通三模)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若公差d＝2，a5＝10，则S10的值是________．解析：法一：因为等差数列{an}中a5＝a1＋4d＝10，d＝2，所以a1＝2，所以S10＝10×2＋×2＝110.法二：在等差数列{an}中，a6＝a5＋d＝12，所以S10＝＝5(a5＋a6)＝5×(10＋12)＝110.答案：1103．(2018·苏锡常镇调研(二))已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若n＝4，则＝________.解析：因为S10＝10a1＋d＝10a1＋45d，S5＝5a1＋d＝5a1＋10d，所以＝＝＝4，可得d＝2a1，故＝2.答案：24．(2018·苏中三市、苏北四市三调)已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和．若a3＝2，S12＝4S6，则a9的值为________．解析：由S12＝4S6，当q＝1，显然不成立，所以q≠1，则＝4，因为≠0，所以1－q12＝4(1－q6)，即(1－q6)(q6－3)＝0，所以q6＝3或q＝－1，所以a9＝a3q6＝6或2.答案：2或65．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.所以a2＝－1＋3＝2，b2＝－1×(－2)＝2，所以＝1.答案：16．已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则的值为________．解析：由题意＝＝3，化简得d＝4a1，则＝＝＝.答案：7．(2018·常州期末)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，则a3的最小值为________．解析：依题意有a2a4＝a，a2a3a4＝(a3)3＝a2＋a3＋a4≥a3＋2＝3a3，整理有a3(a－3)≥0，因为an>0，所以a3≥，所以a3的最小值为.答案：n8．(2018·盐城期中)在数列{an}中，a1＝－2101，且当2≤n≤100时，an＋2a102－n＝3×2n恒成立，则数列{an}的前100项和S100＝________.解析：因为当2≤n≤100时，an＋2a102－n＝3×2n恒成立，所以a2＋2a100＝3×22，a3＋2a99＝3×23，…，a100＋2a2＝3×2100，以上99个等式相加，得3(a2＋a3＋…＋a100)＝3(22＋23＋…＋2100)＝3(2101－4)，所以a2＋a3＋…＋a100＝2101－4，又因为a1＝－2101，所以S100＝a1＋(a2＋a3＋…＋a100)＝－4.答案：－49．(2018·扬州期末)已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a4，a3,6a5成等差数列，且a3＝3a，则S3＝________.解析：设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，则q>0，且a1>0，由4a4，a3,6a5成等差数列，得2a3＝4a4＋6a5，即2a3＝4a3q＋6a3q2，解得q＝.又由a3＝3a，解得a1＝，所以S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝.答案：10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.答案：20011．(2018·扬州期末)在正项等比数列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，则a5＋a6的最小值为________．解析：令a1＋a2＝t(t>0)，则a4＋a3－2a2－2a1＝6可化为tq2－2t＝6(其中q为公比)，所以a5＋a6＝tq4＝q4＝6≥6＝48(当且仅当q＝2时等号成立)．答案：4812．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝2Sn＋2n，则数列{an}的通项公式ann＝________.解析：当n≥2时，an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＋2n－2n－1＝2an＋2n－1，从而an＋1＋2n＝3(an＋2n－1)．又a2＝2a1＋2＝4，a2＋2＝6，故数列{an＋1＋2n}是以6为首项，3为公比的等比数列，从而an＋1＋2n＝6×3n－1，即an＋1＝2×3n－2n，又a1＝1＝2×31－1－21－1，故an＝2×3n－1－2n－1.答案：2×3n－1－2n－113．数列{an}中，若对∀n∈N*，an＋an＋1＋an＋2＝k(k为常数)，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则该数列的前100项的和等于________．解析：由an＋an＋1＋an＋2＝k，an＋1＋an＋2＋an＋3＝k，得an＋3＝an，从而a7＝a1＝2，a9＝a3＝3，a98＝a2＝4，因此a1＋a2＋a3＝9，所以S100＝33(a1＋a2＋a3)＋a1＝33×9＋2＝299.答案：29914．(2018·无锡期末)已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1·a2·…·an的最大值为________．解析：设等比数列{an}的公比为q，根据等比数列的性质可得a2a5＝a3a4＝2a3，由于a3≠0，可得a4＝2.因为a4，，2a7成等差数列，所以2×＝a4＋2a7，可得a7＝，由a7＝a4q3，可得q＝，由a4＝a1q3，可得a1＝16，从而an＝a1qn－1＝16×n－1.法一：令an≥1可得n≤5，故当1≤n≤5时，an≥1，当n≥6时，01，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1的n的最小值为________．解析：由a2a4＝a3得a＝a3，又{an}的各项均为正数，故a3＝1，T5＝a1a2a3a4a5＝a＝1，当n＝6时，T6＝T5·a6，又公比q>1，a3＝1，故a6>1，T6>1.答案：63．设a1，a2，…，a10成等比数列，且a1a2·…·a10＝32，设x＝a1＋a2＋…＋a10，y＝＋＋…＋，则＝________.解析：由a1a2·…·a10＝32，得a1a2·…·a10＝(a1a10)5＝32，则a1a10＝2，设公比为q，则a1a10＝aq9＝2，因为x＝a1＋a2＋…＋a10＝，y＝＋＋…＋＝＝，所以＝aq9＝2.答案：24．(2018·南京考前模拟)数列{an}中，an＝2n－1，现将{an}中的项依原顺序按第k组有2k项的要求进行分组：(1,3)，(5,7,9,11)，(13,15,17,19,21,23)，…，则第n组中各数的和为________．解析：设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝n2，因为2＋4＋…＋2n＝n(n＋1)＝n2＋n,2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)＝n2－n.所以第n组中各数的和为Sn2＋n－Sn2－n＝(n2＋n)2－(n2－n)2＝4n3.答案：4n35．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若2S4＝S2＋2，则S6的最小值为________．n解析：设等比数列{an}的公比为q，因为2S4＝S2＋2，当q＝1时，则8a1＝2a1＋2，解得a1＝，所以S6＝2.当q≠1时，2×＝＋2，所以＝，则S6＝＝(1＋q2＋q4)＝＋≥2＝，当且仅当q2＝时取等号．综上可得S6的最小值为.答案：6．(2018·江苏高考)已知集合A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}．将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为________．解析：所有的正奇数和2n(n∈N*)按照从小到大的顺序排列构成{an}，在数列{an}中，25前面有16个正奇数，即a21＝25，a38＝26.当n＝1时，S1＝1<12a2＝24，不符合题意；当n＝2时，S2＝3<12a3＝36，不符合题意；当n＝3时，S3＝6<12a4＝48，不符合题意；当n＝4时，S4＝10<12a5＝60，不符合题意；……；当n＝26时，S26＝＋＝441＋62＝503<12a27＝516，不符合题意；当n＝27时，S27＝＋＝484＋62＝546>12a28＝540，符合题意．故使得Sn>12an＋1成立的n的最小值为27.答案：27