2019届高中物理第十一章机械振动第4节单摆讲义含解析 14页

单摆单摆、单摆的回复力[探新知·基础练]1．单摆用细线悬挂着小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与细线长度相比可以忽略，这样的装置就叫做单摆。单摆是实际摆的理想化模型。2．单摆的回复力(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。(3)单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律。[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)1．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(×)2．单摆的回复力是重力和拉力的合力。(×)3．一根细线一端固定，另一端拴一小球就构成一个单摆。(×)[释疑难·对点练]1．单摆(1)单摆是实际摆的理想化模型。(2)实际摆看作单摆的条件①摆线的形变量与摆线长度相比小得多；②悬线的质量与摆球质量相比小得多；③摆球的直径与摆线长度相比小得多。2．单摆的回复力如图所示，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsinθ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力：F＝G1＝mgsinθ。3．单摆做简谐运动的推证在偏角很小时，sinθ≈，又回复力F＝mgsinθ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力Fn与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。[试身手]1．(多选)制作一个单摆，合理的做法是(　　)A．摆线细而长　　　　　　　　B．摆球小而不太重C．摆球外表面光滑且密度大D．端点固定且不松动解析：选ACD　根据构成单摆的条件判断，易知A、C、D正确。单摆的周期[探新知·基础练]1.探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响(1)探究方法：控制变量法。(2)实验结论：①单摆振动的周期与摆球质量无关；②振幅较小时周期与振幅无关；③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。2．周期公式荷兰物理学家惠更斯发现单摆的周期T与摆长l的二次方根成正比，与当地的重力加速度g的二次方根成反比，他确定周期公式为：T＝2π。[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)1．荷兰物理学家惠更斯发现单摆振动的周期与振幅无关。(×)2．单摆在振幅较小时周期较大。(×)3．单摆的周期公式都可以用T＝2π求解。(×)[释疑难·对点练]1．对周期T的理解(1)单摆的周期T＝2π为单摆的固有周期，相应地f＝为单摆的固有频率。(2)单摆的周期公式在最大偏角小于5°时成立。(3)周期为2s的单摆叫秒摆。2．对单摆周期公式中摆长l和重力加速度g的理解(1)l为单摆的摆长：因为实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，对于不规则的摆动物体或复合物体，摆长l是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定为摆线的长。如图所示，摆球可视为质点，各段绳长均为ln，甲、乙摆球做垂直于纸面的小角度摆动，丙图中球在纸面内做小角度摆动，O′为垂直纸面的钉子，而且OO′＝l，求各摆的周期。甲：等效摆长l′＝lsinα，T甲＝2π。乙：等效摆长l′＝lsinα＋l，T乙＝2π。丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由O变为O′，摆球振动时，半个周期摆长为l，另半个周期摆长为(l－)，即为l，则单摆丙的周期为T丙＝π＋π。(2)等效重力加速度g不一定等于9.8m/s2g由单摆所在的空间位置决定。由g＝G知，g随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，而且纬度越低，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同。g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a，则摆球处于超重状态，沿轨迹圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值g′＝g＋a，若升降机加速下降，则g′＝g－a。单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值g′＝0，摆球不摆动了，周期无穷大。[试身手]2．甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角α甲＞α乙(α甲、α乙都小于5°)，在同一地点由静止开始同时释放，则(　　)A．甲先到达平衡位置B．乙先到达平衡位置C．甲、乙同时到达平衡位置D．无法判断解析：选C　由单摆的周期公式T＝2π，可知周期T只与l、g有关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故甲、乙同时到达平衡位置，C正确。探究单摆周期与摆长的关系[探新知·基础练]1．实验原理图n2．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响(1)探究方法：控制变量法。(2)实验结论①单摆振动的周期与摆球的质量无关；②振幅较小时，周期与振幅无关；③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。3．定量探究单摆的周期与摆长的关系(1)周期的测量：用停表测出单摆做N(30～50)次全振动所用的时间t，利用T＝计算它的周期。(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，利用l＝l0＋求出摆长。(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出Tl、Tl2或T图象，得出结论。4．周期公式(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。(2)公式：T＝2π，即T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比。(3)应用——测重力加速度：由T＝2π得g＝，即只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以求出当地的重力加速度。[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)1．测量单摆周期时，应在摆球摆到最高处开始计时，并数准全振动的次数。(×)2．用毫米刻度尺量出放在桌面的细线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r。(×)3．小球应该选择体积小、密度大的金属球。(√)[释疑难·对点练]1．实验所需器材带孔小钢球一个、细线一条(约1m长)、铁架台、刻度尺、停表、游标卡尺等。n2．实验步骤(1)做单摆：①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结；②把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记。(2)测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l′，以毫米为单位记录数据；用游标卡尺测量出摆球的直径D，以毫米为单位记录数据；则l＝l′＋，即为单摆的摆长。(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足偏角小于5°，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间。计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T。(4)秒表的读数方法所测时间超过半分钟时，半分钟的整数倍部分由分针读出，不足半分钟的部分由秒针读出，总时间为两针示数之和。如图甲所示，小圆刻度盘上分针所指示的刻度数值超过了1.5min，指针在1.5min和2min之间，其分针指示时间数可记为t1＝1.5min，而大圆刻度盘上秒针所指示的刻度线为21.4，故秒针所测得的数值为t2＝21.4s，所测时间读数为：t＝t1＋t2＝1min30s＋21.4s＝1min51.4s。图乙的读数是2min7.6s。(5)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。(6)作图象，探规律。3．实验操作注意事项(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定。(2)摆球在同一平面内振动且摆角小于10°。(3)选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数。(4)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长l＝l′＋r。(5)选用长一米左右的细线。[试身手]n3．(多选)在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，以下几点建议中对提高测量结果精确度有利的是(　　)A．适当加长摆线B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期解析：选AC　适当加长摆线有利于测量摆长，使相对误差减小，另外有利于控制摆角不过大，因此选项A正确；质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较小的，以减小摆动过程中空气阻力的影响，选项B错误；单摆偏离平衡位置的角度不能太大，因为若偏角太大，单摆的运动就不能看作简谐运动，选项C正确；经过一次全振动后停止计时，所测时间偶然误差过大，应测量多次全振动的时间再求平均值，以减小偶然误差，选项D错误。对单摆回复力的理解[典例1]　振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是(　　)A．回复力为零，合力不为零，方向指向悬点B．回复力不为零，方向沿轨迹的切线C．合力不为零，方向沿轨迹的切线D．回复力为零，合力也为零[解析]选A　单摆的回复力是摆球的重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)。故A正确。(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子的不同之处。(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力。(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零。单摆周期的应用[典例2]　若单摆的摆长不变，摆球的质量由20g增加为40g，摆球离开平衡位置的最大角度由4°减为2°，则单摆振动的(　　)A．频率不变，振幅不变nB．频率不变，振幅改变C．频率改变，振幅不变D．频率改变，振幅改变[解析]选B　单摆的摆长不变时，单摆振动的周期T＝2π不变，频率f＝不变；摆长不变时，摆角越小，振幅越小，选项B正确。(1)在运用T＝2π时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时对应的周期。(2)改变单摆振动周期的途径：①改变单摆的摆长；②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)。(3)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系。探究影响单摆周期的因素[典例3]　某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素。(1)(多选)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示。这样做的目的是________(填字母代号)。A．保证摆动过程中摆长不变B．可使周期测量得更加准确C．需要改变摆长时便于调节D．保证摆球在同一竖直平面内摆动(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L＝0.9990m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图乙所示，则该摆球的直径为________mm，单摆摆长为________m。　　(3)下列振动图象真实地描述了对摆长约为1m的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A、B、C均为30次全振动的图象，已知sin5°＝0.087，sin15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是________(填字母代号)。n[解析]　(1)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线的目的是保证摆动过程中摆长不变，需要改变摆长时便于调节，选项A、C正确。(2)根据游标卡尺读数规则可得，摆球直径为12.0mm，单摆摆长为L－d/2＝0.9990m－0.0060m＝0.9930m。(3)测量单摆的周期，必须从平衡位置开始计时，且摆角小于10°，所以合乎实验要求且误差最小的是A。[答案]　(1)AC　(2)12.0　0.9930　(3)A[课堂对点巩固]1．对于单摆的振动，以下说法中正确的是(　　)A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零解析：选C　单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿圆弧轨迹的切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为F向＝m，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，在平衡位置处为零，故应选C。2．(多选)下列关于单摆周期的说法正确的是(　　)A．用一个装满沙的漏斗和长细线做成一个单摆，在摆动时沙从漏斗中缓慢漏出，周期不变B．当升降机向上做匀加速运动时(a