2020版高中数学第二章数列2.3.1等比数列（第1课时）等比数列的概念及通项公式学案 10页

第1课时　等比数列的概念及通项公式学习目标　1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一　等比数列的概念等比数列的概念和特点．1．文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：＝q(n≥2).3．等比数列各项均不能为0.知识点二　等比中项的概念等比中项与等差中项的异同，对比如下表：对比项等差中项等比中项定义若x，A，y成等差数列，则A叫做x与y的等差中项若x，G，y成等比数列，则G叫做x与y的等比中项定义式A－x＝y－A＝公式A＝G＝±个数x与y的等差中项唯一x与y的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数x与y都有等差中项只有当xy＞0时，x与y才有等比中项知识点三　等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N＋)．1．若an＋1＝qan，n∈N＋，且q≠0，则{an}是等比数列．(　×　)2．任何两个数都有等比中项．(　×　)n3．等比数列1，，，，…中，第10项为.(　√　)4．常数列既是等差数列，又是等比数列．(　×　)题型一　等比数列的判定命题角度1　已知数列前若干项判断是否为等比数列例1　判断下列数列是否为等比数列．(1)1,3,32,33，…，3n-1，…；(2)－1,1,2,4,8，…；(3)a1，a2，a3，…，an，….解　(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n-1，….∵＝＝3(n≥2，n∈N＋)，∴数列为等比数列，且公比为3.(2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列．(3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a.反思感悟　判定等比数列，要抓住3个要点：①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.跟踪训练1　下列各组数成等比数列的是(　　)①1，－2,4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④答案　C解析　①②显然是等比数列；由于x可能为0，③不是；a不能为0，④符合等比数列定义，故④是．命题角度2　已知递推公式判断是否为等比数列例2　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.n(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明　∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.∴＝2(n∈N＋)．∴数列{an＋1}是等比数列．(2)解　由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．∴an＋1＝2·2n－1＝2n.即an＝2n－1.反思感悟　等比数列的判定方法(1)定义法：＝q(n≥2，q是不为0的常数)⇔{an}是公比为q的等比数列．(2)等比中项法：a＝an－1·an＋1(n≥2，an，an－1，an＋1均不为0)⇔{an}是等比数列．跟踪训练2　数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2,3，…)．(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解　(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.＝＝＝3(n＝1,2,3，…)．又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)知an－n＝－2·3n-1，∴an＝n－2·3n-1.题型二　等比数列基本量的计算例3　在等比数列{an}中．(1)已知a2＝4，a5＝－，求an；(2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.解　(1)设等比数列的公比为q，则解得∴an＝a1qn-1＝(－8)n-1＝n-4.(2)设等比数列{an}的公比为q.∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝＝.∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18.n∴a4＝16，an＝a4·qn-4＝16·n-4.由16·n-4＝，得n－4＝5，∴n＝9.反思感悟　已知等比数列{an}的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项．跟踪训练3　在等比数列{an}中：(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.解　(1)由等比数列的通项公式得a6＝3×(－2)6-1＝－96.(2)设等比数列的公比为q，那么解得所以an＝a1qn-1＝5×2n-1，n∈N＋.方程的思想在等比数列中的应用典例1　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解　方法一　设这四个数依次为a－d，a，a＋d，，由条件得解得或所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二　设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)，由条件得解得或当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.典例2　设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？解　设这四个数依次为，a，aq，aq2(q≠0)，根据题意得解得q＝－2或－，n当q＝－2时，a＝－4，所求四个数依次为2，－4，8，－16.当q＝－时，a＝8，所求四个数依次为－16，8，－4，2，综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.[素养评析]　(1)解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：①若三个数成等比数列，可设三个数为，a，aq或a，aq，aq2(q≠0)．②若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2或，，aq，aq3(q≠0)．(2)像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.1．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　)A．4B．8C．6D．32答案　C解析　由等比数列的通项公式得，128＝4×2n-1，2n-1＝32，所以n＝6.2．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于(　　)A．64B．81C．128D．243答案　A解析　∵{an}为等比数列，∴＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1，故a7＝1·26＝64.3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于(　　)A．607.5B．608C．607D．159答案　C解析　∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n-1，∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝＝607.4．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于(　　)A．－24B．0C．12D．24答案　A解析　由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24.n5．45和80的等比中项为________．答案　－60或60解析　设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80，∴G＝±60.6．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．解　设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么②÷①，得q＝，将q＝代入①，得a1＝.因此，a2＝a1q＝×＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：＝q(与n无关的常数)．(2)利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N＋，且数列各项均不为零)．2．两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．3．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.一、选择题1．2＋和2－的等比中项是(　　)A．1B．－1C．±1D．2答案　C解析　设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.2．(2018·四川广安中学高一月考)有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；n④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列．其中正确说法的个数为(　　)A．0B．1C．2D．3答案　B解析　只有③正确．3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则a5等于(　　)A．1B．2C．4D．8答案　A解析　∵a2a12＝a1q·a1q11＝a·q12＝a·212＝16，∴a＝2-8，又an＞0，∴a1＝2-4，∴a5＝a1q4＝2-4·24＝1.4．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为(　　)A．16B．27C．36D．81答案　B解析　∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.5．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9答案　B解析　∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．∴ac＝b2＝9.6．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于(　　)A．9B．10C．11D．12答案　C解析　在等比数列{an}中，∵a1＝1，∴am＝a1a2a3a4a5＝aq10＝q10.∵am＝a1qm-1＝qm-1，∴m－1＝10，∴m＝11.7．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于(　　)A．3B．2C．1D．－2答案　B解析　∵y＝(x－1)2＋2，∴b＝1，c＝2.又∵a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc＝2.二、填空题8．在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.n答案　2解析　a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.9．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________________．答案　80,40,20,10解析　设这6个数所成等比数列的公比为q，则5＝160q5，∴q5＝，∴q＝.∴这4个数依次为80,40,20,10.10．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.答案　1解析　设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，∴q＝＝＝1.11．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________．答案　解析　设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28,28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.又0＜q＜1，∴q＝.三、解答题12．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式．解　∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an.∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0，又由an＋1＝2an知an≠0，∴＝2，∴{an}是首项为－1，公比为2的等比数列．n∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.13．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解　(1)由题意可得a2＝，a3＝.(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以＝.故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝，n∈N＋.14．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51＝＋(5－1)×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a53＝×2＝.15．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2a5＝.(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式；(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．n解　(1)∵2an＝3an＋1，∴＝.又∵数列{an}的各项均为负数，∴a1＜0，∴数列{an}是以为公比的等比数列．∴an＝a1·qn-1＝a1·n-1，∴a2＝a1·2-1＝a1，a5＝a1·5-1＝a1，又∵a2·a5＝a1·a1＝，∴a＝.又∵a1<0，∴a1＝－.∴an＝×n-1＝－n-2(n∈N＋)．(2)令an＝－n-2＝－，则n－2＝4，n＝6∈N＋，∴－是这个等比数列中的项，且是第6项．