2020版高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和（第2课时）等差数列前n项和的性质学案 11页

第2课时　等差数列前n项和的性质学习目标　1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值．知识点一　等差数列{an}的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列性质2若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0)性质3{an}为等差数列⇒为等差数列思考　若{an}是公差为d的等差数列，那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？答案　(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)＝3d＋3d＋3d＝9d，(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d.∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为9d的等差数列．知识点二　等差数列{an}的前n项和公式的函数特征1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；n当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．(2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．1．等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．(　×　)2．等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋bn.即{an}的公差为2A.(　√　)3．若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.(　√　)4．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}不是等差数列．(　√　)题型一　等差数列前n项和的性质的应用例1　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．解　(1)方法一　在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.方法二　在等差数列中，，，成等差数列，∴＝＋.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.(2)＝＝＝＝＝.反思感悟　等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练1　一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．解　设Sn＝an2＋bn.∵S10＝100，S100＝10，∴解得n∴Sn＝－n2＋n.∴S110＝－×1102＋×110＝－110.题型二　求等差数列前n项和的最值问题例2　在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．解　方法一　∵S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋d＝17×25＋d，解得d＝－2.∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法二　同方法一，求出公差d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.∵a1＝25>0，由得又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法三　同方法一，求出公差d＝－2.∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0.由等差数列的性质得a13＋a14＝0.∴a13>0，a14<0.∴当n＝13时，Sn有最大值169.方法四　同方法一，求出公差d＝－2.设Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17，∴二次函数f(x)＝Ax2＋Bx的对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，∴当n＝13时，Sn取得最大值169.反思感悟　(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形：①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和．②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n项和Sn最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找．②运用二次函数求最值．跟踪训练2　已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.n(1)求数列{an}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？解　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n(n∈N＋)．(2)方法一　由(1)知，a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值．方法二　由(1)知，a1＝9，d＝－2<0，∴{an}是递减数列．令an≥0，则11－2n≥0，解得n≤.∵n∈N＋，∴n≤5时，an>0，n≥6时，an<0.∴当n＝5时，Sn取得最大值．题型三　求数列{|an|}的前n项和例3　若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解　∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d＝13n＋×(－4)＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.∴Tn＝反思感悟　等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，那么{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和．跟踪训练3　已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由S2＝16，S4＝24，得即解得所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N＋)．n由an≥0，解得n≤5，则①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，故Tn＝用数形结合思想求解数列中的参数问题典例　在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．答案　解析　方法一　由当且仅当n＝8时Sn最大，知a8＞0且a9＜0，于是解得－1＜d＜－，故d的取值范围为.方法二　Sn＝n2＋n.对称轴为＝－，∵n＝8时，Sn取最大值．∴7.5＜－＜8.5，即－8＜＜－7，∴d∈.[素养评析]　利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷，等差数列{an}(a1>0，d<0或a1<0，d>0)中，an＝dn＋(a1－d)，其图象为y＝dx＋(a1－d)上的一系列点，要求Sn的最大(小)值，只需找出距x轴最近的两个点；Sn＝n2＋n，其图象为y＝x2＋x上的一系列点．要求Sn的最大(小)值，只需找出距对称轴最近的点.n1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)A．13B．35C．49D．63答案　C解析　S7＝＝7·＝7·＝49.2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　)A．12B．13C．14D．15答案　B解析　∵S5＝5a3＝25，∴a3＝5，∴d＝a3－a2＝5－3＝2，∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.故选B.3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)A．63B．45C．36D．27答案　B解析　∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则Sn取得最小值时n的值为(　　)A．5B．6C．7D．8答案　B解析　由7a5＋5a9＝0，即7a1＋28d＋5a1＋40d＝0，得＝－.又a9>a5，所以d>0，a1<0.因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.5．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋3n，p－q＝5，则ap－aq＝________.答案　20解析　由Sn＝n2＋n＝2n2＋3n知公差d＝4，∴ap－aq＝(p－q)d＝5×4＝20.n1．等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形(1)Sn＝n·；(2)Sn＝n2＋n；(3)＝n＋.2．求等差数列前n项和最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.一、选择题1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　)A．11或12B．12C．13D．12或13答案　D解析　∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，∴数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－2＋.∵n∈N＋，∴当n＝12或13时，Sn最大，故选D.2．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为(　　)A．160B．180C．200D．220答案　B解析　由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180.3．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)nA．－2B．－1C．0D．1答案　B解析　∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝An2＋Bn，∴λ＝－1.4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2011＝S2016，Sk＝S2008，则正整数k为(　　)A．2017B．2018C．2019D．2020答案　C解析　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2011＝S2016，Sk＝S2008，可得＝，解得k＝2019.故选C.5．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)A．6B．7C．8D．9答案　B解析　因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有所以即≤k≤.因为k∈N＋，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.6．已知{an}为项数为2n＋1的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　S奇＝，S偶＝，∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.7．已知等差数列{an}中，a1009＝4，S2018＝2018，则S2019等于(　　)A．－2019B．2019C．－4038D．4038答案　C解析　因为{an}是等差数列，所以S2018＝1009(a1＋a2018)＝1009(a1009＋a1010)＝2018，则a1009＋a1010＝2.又a1009＝4，所以a1010＝－2，则S2019＝n＝2019a1010＝－4038.8．设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，则k的值为(　　)A．22B．21C．20D．19答案　C解析　对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立，即Sk为Sn的最大值．因为a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，当Sn取得最大值时，满足解得19≤n≤20.即满足对任意n∈N＋，都有Sn≤Sk成立的k的值为20.二、填空题9．数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1(n∈N＋)，则它的通项公式是______________________．答案　an＝解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2，不符合上式，∴an＝10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．答案　4或5解析　由解得∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5且同时最大．∴n＝4或5.11．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝(n∈N＋)，则＋＝________.答案　解析　设An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，则n≥2，n∈N＋时，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bn＝k(2n＋2)，则＝＝，＝＝，所以＋＝＋＝.三、解答题n12．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值．解　(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，得解得所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N＋.(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．13．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴{an}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N＋.(2)设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2.∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.∴当n>5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2.∴Tn＝14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n等于(　　)A．12B．14C．16D．18n答案　B解析　因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.15．已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝(n∈N＋)，则＋＝________.答案　解析　因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以＋＝＝＝＝＝.