2020版高中数学第二章椭圆的几何性质（第4课时）直线与椭圆的位置关系（三）学案 11页

第4课时　直线与椭圆的位置关系(三)题型一　定点问题例1　设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，且过点.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x－my－t＝0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．考点　椭圆中的定值、定点问题题点　椭圆中的定点问题解　(1)由e2＝＝＝，可得a2＝2b2，椭圆方程为＋＝1，代入点可得b2＝2，a2＝4，故椭圆E的方程为＋＝1.(2)由x－my－t＝0得x＝my＋t，把它代入E的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝，x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝.因为以MN为直径的圆过点A，所以AM⊥AN，n所以·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝＋2×＋4＋＝＝＝0.因为M，N与A均不重合，所以t≠－2，所以t＝－，直线l的方程是x＝my－，直线l过定点T，由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l过定点T.反思感悟　求定点问题，需要注意两个方面：一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向．二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为y＝kx＋b，则直线y＝kx＋b恒过点(0，b)，若直线方程为y＝k(x－a)，则直线恒过点(a,0)．跟踪训练1　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图所示，椭圆C的左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？并说明理由．考点　题点　解　(1)由椭圆C的短轴长为2，得b＝，又由e＝＝＝，得a2＝4，n∴椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，且＋＝1，即x＋2y＝4.易知A(－2,0)，∴直线PA的方程为y＝(x＋2)，∴M，直线QA的方程为y＝(x＋2)，∴N.可得MN的中点为，根据两点间距离公式可得|MN|＝，∴以MN为直径的圆的方程为x2＋2＝2，即x2＋y2－y＋＝0，又∵x－4＝－2y，∴以MN为直径的圆的方程为x2＋y2＋y－2＝0，令y＝0，则x2－2＝0，解得x＝±，∴以MN为直径的圆过定点(，0)和(－，0)．题型二　定值问题例2　已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．考点　椭圆中的定值、定点问题题点　椭圆中的定值问题(1)解　由题意得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.n又c＝＝，所以离心率e＝＝.(2)证明　设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x＋4y＝4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直线PA的方程为y＝(x－2)．令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋.直线PB的方程为y＝x＋1.令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋.所以四边形ABNM的面积S＝|AN|·|BM|＝＝＝＝2.从而四边形ABNM的面积为定值．反思感悟　(1)求定值问题的常用方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类问题中选择消元的方向是非常关键的．跟踪训练2　已知点M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且|F1F2|＝4，∠F1MF2＝60°，△F1MF2的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C于异于N的A，B两点，直线NA，NBn的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．(1)解　在△F1MF2中，由|MF1||MF2|sin60°＝，得|MF1||MF2|＝.由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cos60°＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1||MF2|(1＋cos60°)，解得|MF1|＋|MF2|＝4.从而2a＝|MF1|＋|MF2|＝4，即a＝2.由|F1F2|＝4得c＝2，从而b＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明　当直线l的斜率存在时，设斜率为k，显然k≠0，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.Δ＝56k2＋32k>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)·＝4.当直线l的斜率不存在时，可得A，B，得k1＋k2＝4.综上，k1＋k2为定值．题型三　存在性问题例3　已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)且a>b>c>0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且||＋||＝4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得2＝4·成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．n解　(1)由椭圆的对称性知||＋||＝2a＝4，∴a＝2.又原点O到直线DF的距离为，∴＝，∴bc＝，又a2＝b2＋c2＝4，a>b>c>0，∴b＝，c＝1.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝32(6k＋3)>0，∴k>－.∵2＝4·，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，∴4(1＋k2)＝4×＝5，解得k＝±，k＝－不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.反思感悟　解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．n跟踪训练3　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点　题点　解　(1)∵椭圆的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2，∴∴∴椭圆C的方程为x2＋＝1.(2)存在．将y＝kx＋代入椭圆方程，可得(4＋k2)x2＋2kx－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个根，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.由题意知OA⊥OB，则x1x2＋y1y2＝0，又y1＝kx1＋，y2＝kx2＋，∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋3＝0，∴(1＋k2)·＋k＋3＝0，∴k＝±.1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为－的直线分别交椭圆于M，N两点，试问：直线MN是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由．考点　n题点　解　(1)根据题意，得⇒⇒＋y2＝1.(2)当MN的斜率存在时，设MN的方程为y＝kx＋m，由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则即所以kMA·kNA＝·＝·＝－.所以(2k2＋1)x1x2＋(2km－)(x1＋x2)＋2m2＋2＝0，即m2＋km＝0⇒m＝0或m＝－k(舍去)．所以直线MN：y＝kx过定点(0,0)．当MN斜率不存在时，M，N为短轴两端点，显然也符合题意，所以直线MN恒过定点(0,0)．2.如图，已知椭圆两焦点F1，F2在y轴上，短轴长为2，离心率为，P是椭圆在第一象限弧上一点，且·＝1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．(1)求P点坐标；(2)求证：直线AB的斜率为定值．考点　题点　(1)解　设椭圆方程为＋＝1，由题意可得a＝2，b＝，c＝，所以椭圆方程为＋＝1，则F1(0，)，F2(0，－)．设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)，n则＝(－x0，－y0)，＝(－x0，－－y0)，∴·＝x－(2－y)＝1，∵点P(x0，y0)在曲线上，则＋＝1.∴x＝，从而－(2－y)＝1，得y0＝，则点P的坐标为(1，)．(2)证明　由(1)知PF1∥x轴，直线PA，PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k>0)，则PB的直线方程为y－＝k(x－1)，由得(2＋k2)x2＋2k(－k)x＋(－k)2－4＝0，设B(xB，yB)，则xB＝－1＝，同理可得xA＝，则xA－xB＝，yA－yB＝－k(xA－1)－k(xB－1)＝，所以直线AB的斜率kAB＝＝为定值．3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OA⊥OB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．考点　直线与圆锥曲线的位置关系问题题点　直线与圆锥曲线的综合问题(1)解　由题意知，e＝＝，＝2，又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明　①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝±，n此时，原点O到直线AB的距离为.②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.则Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)>0，x1＋x2＝－，x1x2＝，则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝，由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝＝0，即m2＝(1＋k2)，所以原点O到直线AB的距离为＝，综上，原点O到直线AB的距离为定值.4．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M，N两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)在椭圆上是否存在点P(x，y)到定点A(a,0)(其中00，n>0，m≠n)．因为椭圆过M，N两点，所以⇒所以椭圆方程为＋＝1.(2)假设存在点P(x，y)满足题设条件，所以|AP|2＝(x－a)2＋y2.又因为＋＝1，所以y2＝4，n所以|AP|2＝(x－a)2＋4＝2＋4－a2.因为|x|≤3,03，即