2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程学案新人教b版 14页

2.2.1　双曲线及其标准方程学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一　双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点二　双曲线的标准方程1．两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系式a2＋b2＝c22.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．3．当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．4．标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝c2－a2要与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　×　)n2．在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.(　×　)3．在双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.(　×　)题型一　求双曲线的标准方程例1　求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)过点P，Q，且焦点在坐标轴上．解　(1)方法一　椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得故所求双曲线的方程为－＝1.方法二　由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，设所求双曲线方程为－＝1(16<λ<25)．因为双曲线过点(－2，)，所以－＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)，故所求双曲线的方程为－＝1.(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为－＝1.(3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为点P，Q在双曲线上，n所以解得故所求双曲线方程为－＝1.反思感悟　待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．②与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．(4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1　根据条件求双曲线的标准方程．(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；(2)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；(3)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)．解　(1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.由题意知－＝1，∴－＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍)．∴b2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，∴解得∴双曲线的方程为－＝1.(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1.由题意，知解得n故双曲线的方程为－＝1.题型二　双曲线的定义及应用例2　(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．答案　(1)4a＋2m　(2)16解析　(1)由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a.又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由双曲线定义和余弦定理，得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，所以＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝×64×＝16.引申探究本例(2)中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．解　由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36.①在Rt△F1PF2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100.②将②代入①得|PF1|·|PF2|＝32，n所以＝|PF1|·|PF2|＝16.反思感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．(2)方法二：利用公式＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．跟踪训练2　已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)．解　设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2，ON是三角形PF1F2的中位线，所以|ON|＝|PF2|，因为||PF1|－|PF2||＝2a＝8，|PF1|＝10，所以|PF2|＝2或18，|ON|＝|PF2|＝1或9.由双曲线的定义求轨迹方程典例　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．考点　双曲线的定义题点　双曲线定义的应用答案　x2－＝1(x≤－1)解析　如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，n因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且2<6＝|C1C2|.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．[素养评析]　(1)定义法求双曲线方程的注意点①注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．②当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．③求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．(2)建立数与形的联系，探索解决数学问题的思路，提升数形结合能力，形成数学直观直觉，有利于培养学生的数学思维品质和关键能力．1．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是(　　)A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线答案　D解析　由题意知|F1F2|＝||MF1|－|MF2||＝6，所以点M的轨迹是两条射线．2．若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(　　)A．－3－2D．k>－2答案　A解析　由题意知，k＋3>0且k＋2<0，∴－3b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.n3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．一、选择题1．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x≤－3)D.－＝1(x≥3)答案　D解析　由题意知动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝3，b＝4，故选D.2．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是(　　)A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1答案　B解析　据已知条件得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝5.①∵线段PF1的中点坐标为(0,2)，∴点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，得－＝1.②由①②解得a2＝1，b2＝4，∴双曲线的方程为x2－＝1.3．若k∈R，则“k>5”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k>5或k<2.故选A.n4．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m的值是(　　)A．1B．－1C．－D.答案　B解析　由焦点坐标知，焦点在y轴上，∴m<0，∴双曲线的标准方程为－＝1，∴－m－3m＝4，∴m＝－1.5．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(s，t>0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)A．m－sB.(m－s)C．m2－s2D.－答案　A解析　如图所示，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则∴x＝＋，y＝－，∴|PF1|·|PF2|＝xy＝m－s.6．已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)A．x＝0B.－＝1(x≥)C.－＝1D.－＝1或x＝0答案　D解析　动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都外切；②动圆M与两圆都内切；③动圆M与圆C1外切，与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切，与圆C2外切．在①②情况下，显然动圆圆心M的轨迹方程是x＝0；n在③的情况下，如图，设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，故得|MC1|－|MC2|＝2；在④的情况下，同理，得|MC2|－|MC1|＝2.由③④得||MC1|－|MC2||＝2<8＝|C1C2|，根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且a＝，c＝4，b2＝c2－a2＝14，所以此时动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.故选D.7．设F1，F2分别是双曲线－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为1时，·的值为(　　)A．0B．1C.D．2答案　A解析　不妨设P(xP，yP)(xP，yP＞0)，由×2c×yP＝1，得yP＝，∴P，∴＝，＝，∴·＝0.二、填空题8．双曲线－＝1上一点P到点F1(5,0)的距离为15，则点P到点F2(－5,0)的距离为________．答案　7或23解析　由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a，而由双曲线方程知a＝4，则点P到F2的距离为23或7.n9．焦点在x轴上的双曲线过点P(4，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为____________．答案　－＝1解析　设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，则由QF1⊥QF2，得∴·＝－1，∴c＝5.设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则－＝1，又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9，∴双曲线的标准方程为－＝1.10．已知双曲线－＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为________．考点　双曲线的定义题点　双曲线的焦点三角形答案　9解析　△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，∵|AB|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝16.根据双曲线定义知，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，∴4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，∴a＝3，∴m＝a2＝9.11．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________.答案　解析　由双曲线的定义可得a－c＝10，n由正弦定理得＝＝＝.三、解答题12.如图，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的曲线方程．解　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3.∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，且a＝，c＝5.∴b2＝.∴双曲线方程为－＝1.13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．解　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1，则有解得a2＝3，b2＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.(2)不妨设M点在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝6，解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，MF1边最长，n而cos∠MF2F1＝<0，所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．14．双曲线－＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m的取值范围为________．答案　{－2,7}解析　(1)当焦点在x轴上时，有m＞5，则c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；(2)当焦点在y轴上时，有m＜0，则c2＝－m＋5－m＝9，∴m＝－2.综上所述，m＝7或m＝－2.15．已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．(1)设＜m＜4，求与的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．解　(1)因为所以tanθ＝.又＜m＜4，所以1＜tanθ＜4.即tanθ的取值范围为(1,4)．(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)，所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，则y1＝±.又·＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，解得x1＝，n所以||＝＝≥＝2，当且仅当c＝4时取等号，||最小，这时点Q的坐标为(，)或(，－)．因为所以所以双曲线的标准方程为－＝1.